Maths 2nde / C5 - Calcul fractionnaire

Dans ce chapitre

a

,

b

,

c

et

d

désignent des nombres réels non nuls.

1. Opérations sur les fractions

Propriété 1 : Le produit de deux fractions est égal au quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times c}

Notations :

a = 1 a = 1 \times a

a = \frac{a}{1} = a \div 1

\frac{a}{b} = a \div b

Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à $1$ .

Propriété 2 :

L'inverse de

b

est

\frac{1}{b}

L'inverse de

\frac{a}{b}

est

\frac{b}{a}

b \times \frac{1}{b} = \frac{b}{1} \times \frac{1}{b} = \frac{b}{b} = 1

\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1

Propriété 3 : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

a \div b = a \times \frac{1}{b}

c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a}

Propriété 4 : Deux fractions sont égales si le numérateur et le dénominateur de l'un sont proportionnels au numérateur et au dénominateur de l'autre.

Applications :

Rendre une fraction irréductible	Mettre au même dénominateur
$\frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a}{b}$ $k$ est un facteur commun au numérateur et au dénominateur.	$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$

Propriété 5 : La somme de deux fractions de même dénominateur est le quotient de la somme des numérateurs par le dénominateur commun.

Méthode : Pour additionner deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = a \times \frac{1}{c} + b \times \frac{1}{c}

en factorisant par le facteur commun

\frac{1}{c}

, on obtient :

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = (a + b) \times \frac{1}{c} = \frac{a + b}{c}

Mais si les dénominateurs sont différents, cette factorisation n'est plus possible.