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C4 - Résoudre un système d'équations

lien vers les exercices :
  • Vérifier qu'un nombre est solution d'un système d'équations
  • Résoudre un système d'équations
  • Modéliser une situation par un système puis résoudre ce système
  • Vérifier qu'un couple de nombres est solution d'un système d'équations MathAlea
  • Résoudre un système d'équation (méthode au choix) :
  • Résoudre un problème à l'aide d'un système d'équations MathAlea
Propriété : Un couple de nombres (x;y) est solution d'un système de deux équations à deux inconnues s'il est solution des deux équations.
Méthode par combinaison :
Résoudre le système d'équations $\left\{ \begin{array}{ll} 2x-3y+31=0 \\ -5x+2y-39=0 \end{array} \right.$
  1. On multiplie les coefficient de l'une ou des deux équations de façon à avoir le même nombre de $x$ (ou $y$) au signe près dans les deux équations.

    Ici, on multiplie la 1ère ligne par $2$ et la 2ième ligne par $3$ pour obtenir le même nombre de $y$. $$\left\{ \begin{array}{ll} 2x-3y+31=0 \\ -5x+2y-39=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 4x-6y+62=0 \\ -15x+6y-117=0 \end{array} \right.$$
  2. Ajouter ou soustraire les deux lignes terme à terme, permet d’obtenir une équation avec une seule inconnue.

    Ici, il faut additionner les deux lignes car $-6y + (+6y)=0$ : $$-11x-55=0 \Leftrightarrow x= \frac{55}{-11}=-5$$
  3. Utiliser la valeur trouvée dans l'une des deux équation permet de déterminer l'autre inconnue.

    Ici, on remplacer l’inconnue $x$ par $-5$ dans la 1ère équation : $$2 \times (-5)-3y+31=0 \Leftrightarrow -10-3y+31=0 \Leftrightarrow -3y+21=0 \Leftrightarrow x=\frac{-21}{-3}=7$$
  4. Conclure :
    Le couple de nombres (-5;7) est solution du système.
Méthode par substitution :
Résoudre le système d'équations $\left\{ \begin{array}{ll} -x+5y+8=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.$
  1. On écrit la variable $x$ en fonction de $y$ dans la 1ère équation. $$-x+5y+8=0 \Leftrightarrow 5y+8=x \Leftrightarrow x=5y+8 $$
  2. On remplace $x$ par son expression en fontion de $y$ dans la 2nde équation. On détermine $y$ en résolvant l'équation obtenue. $$ 5x+y-66=0 \Leftrightarrow 5(5y+8)+y-66=0 \Leftrightarrow 26y-26=0 \Leftrightarrow y=1 $$
  3. On en déduit la valeur de $x$ avec la 1ère équation, en remplaçant $y$ par la valeur obtenue. $$x=5y+8 \Leftrightarrow x=5 \times 1 +8 \Leftrightarrow x=13 $$
CONCLUSION : Le couple de nombres $(13;1)$ est la solution du système d'équations.