C4 - Résoudre un système d'équations

Propriété : Un couple de nombres $(x;y)$ est solution d'un système de deux équations à deux inconnues s'il est solution des deux équations.

Méthode par combinaison : Résoudre le système d'équations. $$\left\{ \begin{array}{ll} 2x-3y+31=0 \\ -5x+2y-39=0 \end{array} \right.$$

1. On multiplie les coefficient de l'une ou des deux équations de façon à avoir le même nombre de $x$ (ou $y$) au signe près dans les deux équations.
   
   Ici, on multiplie la 1ère ligne par $2$ et la 2ième ligne par $3$ pour obtenir le même nombre de $y$. $$\left\{ \begin{array}{ll} 2x-3y+31=0 \\ -5x+2y-39=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 4x-6y+62=0 \\ -15x+6y-117=0 \end{array} \right.$$
2. Ajouter ou soustraire les deux lignes terme à terme, permet d’obtenir une équation avec une seule inconnue.
   
   Ici, il faut additionner les deux lignes car $-6y + (+6y)=0$ : $$-11x-55=0 \Leftrightarrow x= \frac{55}{-11}=-5$$
3. Utiliser la valeur trouvée dans l'une des deux équation permet de déterminer l'autre inconnue.
   
   Ici, on remplacer l’inconnue $x$ par $-5$ dans la 1ère équation : $$2 \times (-5)-3y+31=0 \Leftrightarrow -10-3y+31=0 \Leftrightarrow -3y+21=0 \Leftrightarrow x=\frac{-21}{-3}=7$$
4. Conclure :
   Le couple de nombres (-5;7) est solution du système.