C4 - Résoudre un système d'équations

exercices MathAlea

Propriété : Un couple de nombres (x;y)$(x;y)$ est solution d'un système de deux équations à deux inconnues s'il est solution des deux équations.

Méthode par combinaison : Résoudre le système d'équations.

1. On multiplie les coefficient de l'une ou des deux équations de façon à avoir le même nombre de x$x$ (ou y$y$) au signe près dans les deux équations.
   
   Ici, on multiplie la 1ère ligne par 2$2$ et la 2ième ligne par 3$3$ pour obtenir le même nombre de y$y$.
   {2x−3y+31=0−5x+2y−39=0⇔{4x−6y+62=0−15x+6y−117=0$$\{\begin{array}{l}2x-3y+31=0\\ -5x+2y-39=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x-6y+62=0\\ -15x+6y-117=0\end{array}$$
2. Ajouter ou soustraire les deux lignes terme à terme, permet d’obtenir une équation avec une seule inconnue.
   
   Ici, il faut additionner les deux lignes car −6y+(+6y)=0$-6y+(+6y)=0$ :
   −11x−55=0⇔x=55−11=−5$$-11x-55=0\iff x=\frac{55}{-11}=-5$$
3. Utiliser la valeur trouvée dans l'une des deux équation permet de déterminer l'autre inconnue.
   
   Ici, on remplacer l’inconnue x$x$ par −5$-5$ dans la 1ère équation :
   2×(−5)−3y+31=0⇔−10−3y+31=0⇔−3y+21=0⇔x=−21−3=7$$2\times (-5)-3y+31=0\iff -10-3y+31=0\iff -3y+21=0\iff x=\frac{-21}{-3}=7$$
4. Conclure :
   Le couple de nombres (-5;7) est solution du système.