Maths 2nde / C1-Développer Factoriser

1. Vocabulaire et premières propriétés

Définitions :

Développer consiste à transformer un produit en somme.
Factoriser consiste à transformer une somme en produit.

Définitions :

Une somme est le résultat d'une addition.
Un produit est le résultat d'une multiplication.

Propriété :

Une somme reste la même lorsque on change l'ordre des termes qui la compose.
Un produit reste la même lorsque on change l'ordre des facteurs qui le compose.

a + b = b + a

a \times b = b \times a

Notations :

x = 1 x

- x = - 1 x

x y = x \times y

x^{2} = x \times x

Propriété 1 :

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Ajouter un nombre revient à soustraire son opposé.

a - b = a + (- b)

a + b = a - (- b)

Exemple 1 : La différence de

x

et de

8

est aussi la somme de

x

et de

- 8

(l'opposé de

8

)

x - 8 = x + (- 8)

Exemple 2 : L'expression

- 3 x^{2} - 5 x - 7

peut être vue comme la somme des trois termes

- 3 x^{2}

,

- 5 x

et

- 7

.

- 3 x^{2} - 5 x - 7 = - 3 x^{2} + (- 5 x) + (- 7)

3 x - (x + 5) = 3 x - 1 \times (x + 5) = 3 x + (- 1) \times (x + 5)

Le quotient de

x

par

5

est aussi le produit de

x

par

\frac{1}{5}

(l’inverse de

5

)

\frac{x}{5} = \frac{1}{5} \times x

2. Distributivité de la multiplication sur l'addition

Propriété 2 : Distributivité simple

pour développer	pour factoriser
	$k \times a + k \times b - k \times c = k \times (a + b - c)$
On distribue $k$ sur chaque terme de la somme.	$k$ est un facteur commun commun aux termes de la somme.

et en particulier :

pour simplifier une expression avec un signe plus ou un signe moins précédant une somme entre parenthèses.	pour réduire une somme
$+ (a + b) = 1 \times (a + b)$ On distribue $1$ sur chaque terme de la somme. $- (a + b) = - 1 \times (a + b)$ On distribue $- 1$ sur chaque terme de la somme.	Exemples : $8 x^{2} - 3 + 2 x^{2} = 8 x^{2} + 2 x^{2} - 3 = (8 + 2) x^{2} - 3 = 10 x^{2} - 3$ ( $x^{2}$ est le facteur commun aux deux termes $8 x^{2}$ et $2 x^{2}$ ) $x - 5 x + 2 x = 1 x - 5 x + 2 x = (1 - 5 + 2) x = - 2 x$ ( $x$ est le facteur commun aux trois termes $x$ , $- 5 x$ et $2 x$ )

Exemples :

$a - (s o m m e) = a + (- 1) \times (s o m m e)$

Propriété 3 : Double distributivité

3. Identités remarquables

3 x^{2}

est différent de

(3 x)^{2}

$3 x^{2}$ est le produit de $3$ et du carré de $x$ : $3 x^{2} = 3 \times x^{2}$
mais $(3 x)^{2}$ est le carré de $3 x$ : $(3 x)^{2} = 3 x \times 3 x = 9 \times x^{2} = 9 x^{2}$

Propriété 4 : Identités remarquables

Le carré d'une somme ou d'une différence

$\overset{d é v e l o p p e r}{⟶}$
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$\underset{f a c t o r i s e r}{⟵}$

La différence de deux carrés

$\overset{f a c t o r i s e r}{⟶}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$\underset{d é v e l o p p e r}{⟵}$

Démonstration algébrique :

\begin{aligned} (a + b)^{2} & = (a + b) \times (a + b) \\ = a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{aligned}

Démonstration géométrique : L'aire du carré de côté

a + b

est égale à la somme des quatres aires ci-dessous.

\begin{aligned} (a - b)^{2} & = (a + (- b))^{2} \\ = a^{2} + 2 \times a \times (- b) + b^{2} \\ = a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{aligned}

(3 x - 4)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 4 + 4^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16

\begin{aligned} (a - b) (a + b) & = a^{2} + a b - a b - b^{2} \\ = a^{2} - b^{2} \end{aligned}

Factoriser

25 x^{2} - 100

\begin{aligned} 25 x^{2} - 100 & = (5 x)^{2} - 10^{2} \\ = (5 x - 10) (5 x + 10) \end{aligned}