G4 - équations cartésiennes de droites

• AB−→−(−23)=(−ba)$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite d$d$ donc d$d$ a une équation de la forme 3x+2y+c=0$3x+2y+c=0$
• A(1;−3)∈d$A(1;-3)\in d$ donc ses coordonnées vérifient cette équation : 3×1+2×(−3)+c=0$3\times 1+2\times (-3)+c=0$ ainsi −3+c=0$-3+c=0$ soit c=3$c=3$.

Conclusion : d$d$ a pour équation 3x+2y+3=0$3x+2y+3=0$

1. Les points A(4;5)$A(4;5)$ et B(2;3)$B(2;3)$ appartiennent-ils à d$d$ ?
2. Le point C$C$ d'abscisse 0$0$ appartient à d$d$. Quelle est son ordonnée ?
3. Déterminer les coordonnées d'un autre point de la droite d$d$.

1. • 3×4−4×5+8=12−20+8=0$3\times 4-4\times 5+8=12-20+8=0$
     Les coordonnées de A$A$ vérifient l'équation de d$d$ donc A(4;5)∈d$A(4;5)\in d$
   • 3×2−4×3+8=6−12+8=2≠0$3\times 2-4\times 3+8=6-12+8=2\ne 0$
     Les coordonnées de B$B$ ne vérifient pas l'équation de d$d$ donc B(2;3)∉d$B(2;3)\notin d$


2. C(0;y)∈d$C(0;y)\in d$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de d$d$
   3×0−4×y+8=0$3\times 0-4\times y+8=0$ ainsi −4×y+8=0$-4\times y+8=0$ soit y=−8−4=2$y=\frac{-8}{-4}=2$ donc C(0;2)$C(0;2)$


3. On choisit une abscisse x$x$ et on cherche une ordonnée y$y$ pour laquelle l'équation de d$d$ est vérifiée.
   Si x=−4$x=-4$ alors 3×(−4)−4×y+8=0$3\times (-4)-4\times y+8=0$ ainsi −4×y−4=0$-4\times y-4=0$ soit y=4−4=−1$y=\frac{4}{-4}=-1$ donc E(−4;−1)∈d$E(-4;-1)\in d$