Maths 1EDS / Fonction Exponentielle

Questions :

Fonctions / Fonction Exponentielle Apprentissage 0x Réussite 0/0

Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle $f : x \rightarrow e^x$ ?

C'est elle-même : $f'(x)=e^x$

1. Définition

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction $f$, notée $exp$, définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ qui vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$.

2. Signe et sens de variation

Propriété : La fonction exponentielle est :

strictement positive sur $ \mathbb{R} $
strictement croissante sur $ \mathbb{R} $

Propriété : Quels que soient les réels $x$ et $y$ :

$exp(x)=exp(y)\Leftrightarrow x=y$
$exp(x) < exp(y)\Leftrightarrow x < y$

3. Propriétés algébriques et notation $e^{x}$ .

Notations :

On pose $e x p (1) = e$
Pour tout $x$ réel $e x p (x)$ est noté $e^{x}$ .
Ainsi on a $1 = e^{0}$ et $e = e^{1}$

Remarque :

e

est un nombre irrationnel.

e \approx 2, 71828 \dots

Propriétés :

e^{x} \times e^{y} = e^{x + y}

\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y}

\frac{1}{e^{y}} = e^{- y}

4. fonction exponentielle et suite géométrique

Propriété : Pour tout nombre naturel

n

et pour tout nombre réel

x

, on a

(e^{x})^{n} = e^{n x}

Propriété : Pour tout réel

a

, la suite

(e^{n a})

définie sur

N

est géométrique de terme initial

1

et de raison

e^{a}

.

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_{n} = e^{n a}

.

u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{n a + a} = e^{n a} e^{a} = u_{n} \times e^{a}

.
La suite

(u_{n})

est donc géométrique de raison

e^{a}

et de terme initial

u_{0} = e^{0 \times a} = e^{0} = 1

.

Fonction Exponentielle

1. Définition

2. Signe et sens de variation

3. Propriétés algébriques et notation exex.

4. fonction exponentielle et suite géométrique

3. Propriétés algébriques et notation $e^{x}$ .