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Fonction Exponentielle

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Question 1/14 : ✓
Fonctions / Fonction Exponentielle Mémorisation 0x Réussite 0/0
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle $f : x \rightarrow e^x$ ?
C'est elle-même : $f'(x)=e^x$

Définition

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction $f$, notée $exp$, définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ qui vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$.

Propriété : Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$, alors $f$ ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} $.

Démonstration:

Propriété : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Démonstration:

  • L'existence d'une telle fonction est admise.

Signe et sens de variation

Propriété : La fonction exponentielle est :
  • strictement positive sur $ \mathbb{R} $
  • strictement croissante sur $ \mathbb{R} $
  • On admet que la fonction exponentielle est strictement positive.
  • Pour tout $x$ réel, $exp'(x)=exp(x)>0$.
    La dérivée de $exp$ est donc strictement positive sur $ \mathbb{R} $ et par conséquent, $exp$ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.


Propriété : Quels que soient les réels $x$ et $y$ :
  • $exp(x)=exp(y)\Leftrightarrow x=y$
  • $exp(x) < exp(y)\Leftrightarrow x < y$

Propriétés algébriques et notation $e^x$.

Notations :
  • On pose $exp(1)=e$
  • Pour tout $x$ réel $exp(x)$ est noté $e^x$.
  • Ainsi on a $\boxed{1=e^0}$ et $\boxed{e=e^1}$
Remarque : $e$ est un nombre irrationnel. $e \approx 2,71828…$
Propriétés :
$$e^x \times e^y=e^{x+y}$$ $$\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$$ $$\frac{1}{e^y}=e^{-y}$$

fonction exponentielle et suite géométrique

Propriété : Pour tout nombre naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$, on a $(e^x)^n=e^{nx}$
Propriété : Pour tout réel $a $, la suite $(e^{na})$ définie sur $\mathbb{N}$ est géométrique de terme initial $1$ et de raison $e^a$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=e^{na}$.
$u_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^{na+a}=e^{na} e^a=u_n×e^a$.
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $e^a$ et de terme initial $u_0=e^{0×a}=e^0=1$.
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