Maths 1EDS / Fonction Exponentielle

1. Définition

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction

f

, notée

e x p

, définie et dérivable sur

R

qui vérifie

f^{'} = f

et

f (0) = 1

.

Propriété : Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ , alors $f$ ne s'annule pas sur $R$ .

Démonstration:

Propriété : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ .

Démonstration:

Propriété : La fonction exponentielle est :

on admet que la fonction exponentielle est strictement positive.
Pour tout $x$ réel, $e x p^{'} (x) = e x p (x) > 0$ .
La dérivée de $e x p$ est donc strictement positive sur $R$ et par conséquent, $e x p$ est strictement croissante sur $R$ .

Propriété : Quels que soient les réels

x

et

y

:

Notations :

Remarque :

e

est un nombre irrationnel.

e \approx 2, 71828 \dots

Propriétés :

e^{x} \times e^{y} = e^{x + y}

\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y}

\frac{1}{e^{y}} = e^{- y}

Propriété : Pour tout nombre naturel

n

et pour tout nombre réel

x

, on a

(e^{x})^{n} = e^{n x}

Propriété : Pour tout réel

a

, la suite

(e^{n a})

définie sur

N

est géométrique de terme initial

1

et de raison

e^{a}

.

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_{n} = e^{n a}

.

u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{n a + a} = e^{n a} e^{a} = u_{n} \times e^{a}

.
La suite

(u_{n})

est donc géométrique de raison ea et de terme initial u0=e0×a=e0=1.