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🠖 Fonctions

F3-Fonction Exponentielle

  • Calculer avec des puissances
  • Dérivation :
    • Calculer une dérivée
    • Déterminer l'équation d'une tangente
  • Fonction polynôme du 2nd degré :
    • étudier le signe d'une fonction polynôme du 2nd degré
    • factoriser une fonction polynôme du 2nd degré
Fonctions / Fonction Exponentielle Apprentissage 0x Réussite 0/0
Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle $f : x \rightarrow e^x$ ?
C'est elle-même : $f'(x)=e^x$
A savoir-faire :
Calcul algébrique avec des exponentielles
  • Faire des opérations MathAléa
  • Résoudre une équation
  • Résoudre une inéquation
Fonction contenant $e^x$ Fonction de la forme $e^u$ avec $u$ un polynôme
Appliquer :

1. Définition

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction $f$, notée $exp$, définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ qui vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$.

Propriété : Si $f$ est une fonction définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$, alors $f$ ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} $.

Démonstration: Posons, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)=f(x)f(-x)$.
Alors $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $g'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$.
Ainsi, la fonction $g$ est constante.
Puisque $g(0)=1$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)f(-x)=1$ et donc la fonction $f$ ne s'annule pas.

Propriété : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Démonstration:

  • L'existence d'une telle fonction est admise.
  • On sait que la fonction $f$ ne s'annule pas.
    On peut donc poser, pour tout $x\in\mathbb R$, $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$.
    Alors $h$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on a, pour tout $x\in\mathbb R$, $$h'(x)=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{(f(x))^2}=\frac{g(x)f(x)-g(x)f(x)}{(f(x))^2}=0.$$
    Ainsi, $h$ est constante sur $\mathbb R$ et comme $h(0)=1$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $h(x)=1$ ce qui prouve bien que $f(x)=g(x)$.

2. Signe et sens de variation

Propriété :
  • La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
  • Soit $u$ une fonction polynôme. La dérivée d'une fonction de la forme $e^u$ est $u' \times e^u$.
Propriété : La fonction exponentielle est :
  • strictement positive sur $ \mathbb{R} $
  • strictement croissante sur $ \mathbb{R} $
Soit $x\in\mathbb R$. On sait que $$\exp(x)=\exp\left(\frac x2+\frac x2\right)=\left(\exp\left(\frac x2\right)\right)^2\geq 0.$$ Comme la fonction exponentielle ne s'annule pas, elle est forcément strictement positive.
Pour tout $x$ réel, $exp'(x)=exp(x)>0$.
La dérivée de $exp$ est donc strictement positive sur $ \mathbb{R} $ et par conséquent, $exp$ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.


Propriété : Quels que soient les réels $x$ et $y$ :
  • $exp(x)=exp(y)\Leftrightarrow x=y$
  • $exp(x) < exp(y)\Leftrightarrow x < y$

3. Propriétés algébriques et notation ex.

Notations :
  • On pose exp(1)=e
  • Pour tout x réel exp(x) est noté ex.
  • Ainsi on a 1=e0 et e=e1
Remarque : e est un nombre irrationnel. e≈2,71828…
Propriétés :
ex×ey=ex+y
exey=ex−y
1ey=e−y
Fixons $y\in\mathbb R$ et considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$$
(existe car la fonction exponentielle ne s'annule pas).
Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée est $$f'(x)=\frac{\exp(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{(\exp(x))^2}=0.$$
Ainsi, $f$ est constante sur $\mathbb R$ et puisque $f(0)=\exp(y)$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $$\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y).$$
$$\exp(x)\exp(-x)=\exp(x-x)=\exp(0)=1.$$
$$\frac{\exp(x)}{\exp(y)}=\exp(x) \frac{1}{\exp(y)}=\exp(x)\exp(-y)=\exp(x-y).$$

4. fonction exponentielle et suite géométrique

Propriété : Pour tout nombre naturel n et pour tout nombre réel x, on a (ex)n=enx
Propriété : Pour tout réel a, la suite (ena) définie sur N est géométrique de terme initial 1 et de raison ea.
Pour tout entier naturel n, on pose un=ena.
un+1=e(n+1)a=ena+a=enaea=un×ea.
La suite (un) est donc géométrique de raison ea et de terme initial u0=e0×a=e0=1.