Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
$a$ et $h$ sont des nombres réels de $I$, avec $h≠0$.
Étudier le signe d'une fonction :
affine.
du second degré.
quotient.
produit.
Calcul algébrique.
Équation réduite de droite :
Lire graphiquement et calculer un coefficient directeur.
Déterminer l'équation réduite d'une droite.
Caractériser deux droites parallèles.
Tracer une droite.
Fonctions.
Lire graphiquement le nombre dérivé.
Déterminer l'équation d'une tangente.
Étudier la position relative d'une courbe et de sa tangente.
Déterminer une tangente parallèle à une droite donnée.
Associer les courbes d'une fonction et de sa dérivée.
... le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $ f $ au point d'abscisse $ a $
1. Nombre dérivé
1.1. Construction du nombre dérivé
Définition : Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le rapport $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Interprétation graphique : C’est le coefficient directeur
de la droite $(AM)$ où $A$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$
et $M$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a+h$.
Définition : On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel, qui est noté $f'(a)=\lim\limits_{\substack{h \to 0 }} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et qu’on appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Interprétation graphique : Lorsque $h$ se rapproche de zéro, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $a$, c’est-à-dire la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
1.2. Nombre dérivé et tangente
Défintion : Le nombre dérivé $f' (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$.
Propriété : La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation $y=f′(a)(x – a)+f(a)$.
Dire que f est dérivable sur un intervalle I signifie que f est dérivable en tout nombre réel de I. La fonction, notée f′ qui, à chaque nombre réel x de I, associe le nombre dérivé f′(x) est appelée la dérivée de f.
2.1. Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée
Théorème (admis) : f est une fonction dérivable sur I.
f′ est positive sur I si et seulement si f est croissante sur I.
f′ est négative sur I si et seulement f est décroissante sur I.
f′ est nulle sur I si et seulement f est constante sur I.
Propriétés :
$f’(a)=0$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $a$.
$f'$ s’annule en changeant de signe en $c$ si et seulement si $f$ admet un extremum local en $c$.
2.3. Calculs de dérivées
2.3.1. Dérivées des fonctions usuelles
Propriétés :
2.3.2. Dérivées d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
Propriétés :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I avec v ne s’annulant jamais sur I.
Soit k un réel.
Les fonctions ci-dessous sont dérivables sur I.
