... le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $ f $ au point d'abscisse $ a $
1. Nombre dérivé
1.1. Construction du nombre dérivé
Définition : Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est le rapport f(a+h)−f(a)h.
Interprétation graphique : C’est le coefficient directeur
de la droite (AM) où A est le point de Cf d’abscisse a
et M est le point de Cf d’abscisse a+h.
Définition : On dit que f est dérivable en a lorsque, quand h tend vers 0, f(a+h)−f(a)h tend vers un nombre réel, qui est noté f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h et qu’on appelle le nombre dérivé de f en a.
Interprétation graphique : Lorsque h se rapproche de zéro, la droite (AM) se rapproche de la tangente à Cf au point A d’abscisse a, c’est-à-dire la droite passant par A et de coefficient directeur f′(a).
1.2. Nombre dérivé et tangente
Défintion : Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse a.
Propriété : La tangente à Cf au point A a pour équation y=f'(a)(x–a)+f(a).
Exemple :
2. Fonction dérivée
Code source (modification) :
Question
1/6
:
✓
Mémorisation 0x
- Réussite 0/0
Démarrer
La dérivée de $ f(x)=ax+b $ est ...
$ f'(x)=a $
Code source (modification) :
Question
1/6
:
✓
Mémorisation 0x
- Réussite 0/0
Démarrer
Formule de la dérivée du produit
$(uv)'=u'v+uv'$
2.1. Définition
Dire que f est dérivable sur un intervalle I signifie que f est dérivable en tout nombre réel de I. La fonction, notée f′ qui, à chaque nombre réel x de I, associe le nombre dérivé f′(x) est appelée la dérivée de f.
2.1. Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée
Théorème (admis) : f est une fonction dérivable sur I.
f′ est positive sur I si et seulement si f est croissante sur I.
f′ est négative sur I si et seulement f est décroissante sur I.
f′ est nulle sur I si et seulement f est constante sur I.
Propriétés :
f′(a)=0 si et seulement si Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse a.
f′ s’annule en changeant de signe en c si et seulement si f admet un extremum local en c.
2.3. Calculs de dérivées
2.3.1. Dérivées des fonctions usuelles
Propriétés :
2.3.2. Dérivées d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
Propriétés :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I avec v ne s’annulant jamais sur I.
Soit k un réel.
Les fonctions ci-dessous sont dérivables sur I.
