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Difficulté :
Exercice : La tangente à la courbe de $ f $ au point $ A(3;5) $ est parallèle à la droite $ d $ d'équation $ y=-2x+4 $. Combien valent $ a $, $ f(a) $ et $ f'(a) $ ?
$ A(3;5) $ appartient à la courbe de $ f $ donc $ A(3;f(3)) $ ainsi $ a=3 $ et $ f(3)=5 $
La tangente et la droite $ d $ sont parallèles, elles ont donc le même coefficient directeur : $f'(3)=-2$
Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
$a$ et $h$ sont des nombres réels de $I$, avec $h≠0$.
1. Nombre dérivé
1.1. Construction du nombre dérivé
Définition : Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le rapport $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Interprétation graphique : C’est le coefficient directeur
de la droite $(AM)$ où $A$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$
et $M$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a+h$.
Définition : On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel, qui est noté $f'(a)=\lim\limits_{\substack{h \to 0 }} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et qu’on appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Interprétation graphique : Lorsque $h$ se rapproche de zéro, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $a$, c’est-à-dire la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
1.2. Nombre dérivé et tangente
Défintion : Le nombre dérivé $f' (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$.
Propriété : La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation $y=f′(a)(x – a)+f(a)$.
Exemple :
2. Fonction dérivée
2.1. Définition
Dire que f est dérivable sur un intervalle I signifie que f est dérivable en tout nombre réel de I. La fonction, notée f′ qui, à chaque nombre réel x de I, associe le nombre dérivé f′(x) est appelée la dérivée de f.
2.1. Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée
Théorème (admis) : f est une fonction dérivable sur I.
f′ est positive sur I si et seulement si f est croissante sur I.
f′ est négative sur I si et seulement f est décroissante sur I.
f′ est nulle sur I si et seulement f est constante sur I.
Propriétés :
$f’(a)=0$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $a$.
$f'$ s’annule en changeant de signe en $c$ si et seulement si $f$ admet un extremum local en $c$.
2.3. Calculs de dérivées
2.3.1. Dérivées des fonctions usuelles
Propriétés :
$f(x)=mx+p$
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{m(a+h)+p-ma+p}{h}=\frac{mh}{h}=m $
autre méthode : la tangente à une droite en chaque point de la droite est elle-même donc le coefficient directeur de cette tangente est le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction affine : $f'(x)=m$
2.3.2. Dérivées d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
Propriétés :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I avec v ne s’annulant jamais sur I.
Soit k un réel.
Les fonctions ci-dessous sont dérivables sur I.
