🠖 Fonctions
Dérivation
Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
$a$ et $h$ sont des nombres réels de $I$, avec $h≠0$.
$a$ et $h$ sont des nombres réels de $I$, avec $h≠0$.
- Étudier le signe d'une fonction :
- affine.
- du second degré.
- quotient.
- produit.
- Calcul algébrique.
- Équation réduite de droite :
- Lire graphiquement et calculer un coefficient directeur.
- Déterminer l'équation réduite d'une droite.
- Caractériser deux droites parallèles.
- Tracer une droite.
- Fonctions.
- Lire graphiquement le nombre dérivé.
- Déterminer l'équation d'une tangente.
- Étudier la position relative d'une courbe et de sa tangente.
- Déterminer une tangente parallèle à une droite donnée.
- Associer les courbes d'une fonction et de sa dérivée.
- Dériver une fonction.
- Étudier le sens de variation d'une fonction.
- Déterminer un extremum.
Fonctions / Dérivation (partie 1)
Mémorisation 0x
Réussite 0/0
Démarrer
Graphiquement, $ f'(a) $ représente ...
... le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $ f $ au point d'abscisse $ a $
Nombre dérivé
Construction du nombre dérivé
Définition : Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le rapport $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Interprétation graphique : C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ et $M$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a+h$.
Interprétation graphique : C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ et $M$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a+h$.
Définition :
On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel, qui est noté $f'(a)=\lim\limits_{\substack{h \to 0 }} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et qu’on appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Interprétation graphique : Lorsque $h$ se rapproche de zéro, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $a$, c’est-à-dire la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque, quand $h$ tend vers $0$, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel, qui est noté $f'(a)=\lim\limits_{\substack{h \to 0 }} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et qu’on appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Interprétation graphique : Lorsque $h$ se rapproche de zéro, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $a$, c’est-à-dire la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
Nombre dérivé et tangente
Défintion : Le nombre dérivé $f' (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $a$.
Propriété : La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation $y=f′(a)(x–a)+f(a)$.
Exemple :
Fonction dérivée
Fonctions / Dérivation (partie 1)
Mémorisation 0x
Réussite 0/0
Démarrer
La dérivée de $ f(x)=ax+b $ est ...
$ f'(x)=a $
Fonctions / Dérivation 2
Mémorisation 0x
Réussite 0/0
Démarrer
Formule de la dérivée du produit
$(uv)'=u'v+uv'$
Définition
Dire que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ signifie que $f$ est dérivable en tout nombre réel de $I$.
La fonction, notée $f’$ qui, à chaque nombre réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f’(x)$ est appelée la dérivée de $f$.
La fonction, notée $f’$ qui, à chaque nombre réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f’(x)$ est appelée la dérivée de $f$.
Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée
Théorème (admis) : $f$ est une fonction dérivable sur $I$.
- $f'$ est positive sur $I$ si et seulement si $f$ est croissante sur $I$.
- $f'$ est négative sur $I$ si et seulement $f$ est décroissante sur $I$.
- $f'$ est nulle sur $I$ si et seulement $f$ est constante sur $I$.
Propriétés :
- $f’(a)=0$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $a$.
- $f'$ s’annule en changeant de signe en $c$ si et seulement si $f$ admet un extremum local en $c$.
Calculs de dérivées
Dérivées des fonctions usuelles
Propriétés :
Dérivées d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
Propriétés :
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ avec $v$ ne s’annulant jamais sur $I$.
Soit $k$ un réel.
Les fonctions ci-dessous sont dérivables sur $I$.
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ avec $v$ ne s’annulant jamais sur $I$.
Soit $k$ un réel.
Les fonctions ci-dessous sont dérivables sur $I$.
Exemples :