Mesures et incertitudes

Mesurer, c’est tout un art. La mesure est omniprésente dans notre quotidien : nous pesons nos ingrédients, nous mesurons des distances, des vitesses, des températures...
Généralement, des mesures approximatives nous suffisent, mais qu’en est-il lorsqu’on a besoin de garantir l’exactitude des mesures ?
« La métrologie, ou science de la mesure, rassemble l’ensemble des techniques permettant de réaliser des mesures, de les interpréter et d’assurer leur fiabilité.

1. Processus de mesure et erreur

Le processus de mesure ou mesurage est l'ensemble des opérations qui permettent d'obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l'on peut "raisonnablement" attribuer à une grandeur.

Une mesure juste n'exite pas. Il est , par définition, impossible d'accéder à une valeur objective de la réalité sans erreur de mesure.
Il existe deux type d'erreur : l'erreur aléatoire et l'erreur systématique.

L'erreur de mesure est l'écart entre la valeur mesurée xi${\displaystyle x_i}$ et sa valeur vraie xvraie${\displaystyle x_{vraie}}$.
ε=xi−xvraie${\displaystyle \epsilon =x_i-x_{vraie}}$

Les erreurs aléatoires , ne sont pas prévisibles, elles seront traitées de façon statistique.
εa=xi−x¯${\displaystyle {\epsilon }_a=x_i-\overline{x}}$
où x¯${\displaystyle \overline{x}}$ est la moyenne des mesures en répétant N${\displaystyle N}$ fois le même processus de mesure avec N→∞${\displaystyle N\to \infty }$

Les erreurs systématiques (ou biais) sont des erreurs qui se produisent à chaque mesure, elle sont donc prévisibles et évitables.
εs=x¯−xvraie${\displaystyle {\epsilon }_s=\overline{x}-x_{vraie}}$

Exemple

Ainsi l'erreur sera la somme d'un biais et d'une quantité aléatoire. ε=xi−xvraie=(xi−x¯)+(x¯−xvraie)=εa+εs${\displaystyle \epsilon =x_i-x_{vraie}=(x_i-\overline{x})+(\overline{x}-x_{vraie})={\epsilon }_a+{\epsilon }_s}$

à retenir
Lors d'un processus de mesure (ou mesurage) il est impossible d'obtenir la valeur vraie. Il y a toujours une erreur de mesure qui peut provenir :

• de la méthode choisie (un protocole peut être plus ou moins pertinent, ....)
• des instruments de mesures (l'affichage peut fluctuer, ou l'appareil est mal étalonné)
• de l'environnement (une mesure peut être sensible à la température de la pièce, par exemple)
• de l'opérateur (en TP vous êtes bien souvent la principale source d'erreur !)

2. Variabilité des mesures et incertitude-type

On réalise 100 mesures de l'éclairement. On obtient une série de valeurs : `E =130,2` lux ; `E =155,1` lux ; `E = 119,0` lux ; etc.
On recommence avec une série de 1000 mesures.
Pour y voir plus clair, on réprésente ces 100 mesures dans un histogramme avec en pointillé rouge, la valeur moyenne. La double flèche représente l'incertitude type de la mesure.

La dispersion des valeurs reflète l'impossibilité de connaître exactement la valeur d'une grandeur que l'on cherche à mesurer. D'après les histogrammes, on se doute que la valeur de l'éclairement E${\displaystyle E}$ est proche 150${\displaystyle 150}$ lux, mais pour donner un résultat scientifiquement valable, il faut se fixer une règle pour la valeur finale (on prendra la moyenne), et choisir une grandeur pour caractériser la dispersion des mesures (on prendra l'écart-type).

Moyenne et écart-type expérimental
Pour une série de `N` mesurages `x_i` d'un grandeur `X` on note `barx=` la moyenne et `s(x_i)` ou `sigma` l'écart type expériemental.
Ces valeurs se calculent automatiquement avec une calculatrice ou un tableur.
`barm=1/Nsum_(i=1)^N x_i` et `s(x_i)=sigma=sqrt(1/(N-1)sum_(i=1)^N (x_i-barx)^2`

Sans incertitude il nous est impossible de comparer deux résultats ou de réfuter une loi. Pour qu'un résultat ait une valeur scientifique il faut pouvoir prouver que les éventuels écarts entre la théorie et l'expérience ne sont pas significatifs.

à retenir :
Pour une série de mesure, la valeur la plus probable est la moyenne. L'écart-type nous rensigne sur la dispersion des mesures causée par les erreurs de mesure.
Le résultat final d'une série de mesure d'une grandeur M${\displaystyle M}$est exprimé sous la forme d’un intervalle de valeurs probables.
X=x¯±u(x)${\displaystyle X=\overline{x}\pm u\left(x\right)}$ où m¯¯¯${\displaystyle \overline{m}}$ est la moyenne de la série de mesure et u(m)${\displaystyle u\left(m\right)}$ l'incertitude-type.

3. Exactitude d'un mesurage

L'exactitude est le degré de proximité entre résultat du mesurage la mesure et la valeur vraie.Elle se décompose en :

justesse qui décrit l'erreur systématique ou biais statistique

fidélité qui décrit l'erreur aléatoire

4. Intervalle de confiance

68%${\displaystyle 68\%}$ des valeurs sont dans l'intervalle [x¯−σ,x¯+σ]${\displaystyle [\overline{x}-\sigma ,\overline{x}+\sigma ]}$
95%${\displaystyle 95\%}$ des valeurs sont dans l'intervalle [x¯−2σ,x¯+2σ]${\displaystyle [\overline{x}-2\sigma ,\overline{x}+2\sigma ]}$
99,7%${\displaystyle 99,7\%}$ des valeurs sont dans l'intervalle [x¯−3σ,x¯+3σ]${\displaystyle [\overline{x}-3\sigma ,\overline{x}+3\sigma ]}$

On introduit alors l'incertiude élargie U(x)${\displaystyle U\left(x\right)}$. Elle est reliée à l'incertitude type par la relation : U(x)=k⋅u(x)${\displaystyle U\left(x\right)=k\cdot u\left(x\right)}$
où k${\displaystyle k}$ est appelé facteur d'élargissement.Le facteur k${\displaystyle k}$ permet de fixer, le niveau de confiance du mesurage.
Plus k${\displaystyle k}$ est grand et plus la probabilité de trouver la valeur vraie dans l'intervalle de confiance [x¯−U(x),x¯+U(x)]${\displaystyle [\overline{x}-U\left(x\right),\overline{x}+U\left(x\right)]}$ est élevé.

3. Présentation du résultat

Chiffre significatif : Dans une valeur numérique, le premier chiffre non-nul de gauche désigne le chiffre le plus significatif et le dernier chiffre de droite le chiffre le moins significatif.

Le zéro a une situation particulière. Les zéros placés à gauche du premier chiffre différent de zéro ne sont pas significatifs, ceux placés à droite le sont.

les nombres 5487 ; 5,487 et 0,005487 ont tous quatre chiffres significatifs.

les nombres 63200${\displaystyle 63200}$ et 0,063200${\displaystyle 0,063200}$ ont tous cinq chiffres significatifs.

Lorsqu'on effectue des calculs à partir de plusieurs valeurs, le nombre de chiffres significatifs du résultat doit être égal au nombre de chiffres significatifs le moins important des valeurs de départ.

Le nombre de chiffres significatifs sous-entends la précision avec laquelle une valeur est connue.
En effet, lorsque l'on écrit un résultat, seul le dernier chiffre significatif n'est pas connu avec certitude.

On mesure les côtés d'une table rectangulaire : L=4,1${\displaystyle L=4,1}$ m (2 chiffres significatifs) et l=5,534${\displaystyle l=5,534}$ m (4 chiffres significatifs)
La surface vaut S=L⋅l=4,1×2,534=10,3894${\displaystyle S=L\cdot l=4,1\times 2,534=10,3894}$ m² mais le bon résultat est S=10${\displaystyle S=10}$ m² (2 chiffres significatifs)

Écrire que c=(2,999792±0,04)⋅108${\displaystyle c=(2,999792\pm 0,04)\cdot {10}^8}$ m·s^-1 n'a pas de sens car l'incertitude indique que nous n'avons aucun information au delà de la deuxième décimale.
Il faut donc arrondir le résultat au centième.

Comment arrondir ? Pour les arrondis on adopte la méthode qui consiste à arrondir au plus près : cela consiste à repérer le dernier chiffre à arrondir puis à l'augmenter d'une unité si le chiffre suivant est au moins égal à 5 ou à le conserver sinon.
Par exemple,

• arrondir 2,625 à l'unité donne 3
• arrondir 2,625 au dixième donne 2,6
• arrondir 2,625 au centième donne 2,63

Si l'on reprend l'exemple précédent, l'écriture correcte du résultat est : c=(3,00±0,04)⋅108${\displaystyle c=(3,00\pm 0,04)\cdot {10}^8}$ m·s^-1

à retenir :
Une fois l'incertitude u(x)${\displaystyle u\left(x\right)}$ estimée avec 1 ou 2 chiffres. On arrondi la valeur du résultat de la mesure xm${\displaystyle x_m}$ de manière à ce que son dernier chiffre significatif soit à la même position décimale que celui de l'incertitude .
Le résultat se met sous la forme : x=xm${\displaystyle x=x_m}$ unité ±u(x)${\displaystyle \pm u\left(x\right)}$ unité
ou bien en écriture scientifique x=(xm±u(x))⋅10n${\displaystyle x=(x_m\pm u\left(x\right))\cdot {10}^n}$ unité

5. Comparaison de deux valeurs

5.1. Comparaison à une valeur de référence

Pour comparer une valeur mesurée xi${\displaystyle x_i}$à une valeur de référence xref${\displaystyle x_{ref}}$, on utilise l'écart-normalisé ou z-score.
z=|xi−xref|u(x)${\displaystyle z=\frac{\left|x_i-x_{ref}\right|}{u\left(x\right)}}$
On considère que la mesure est compatible avec la valeur de référence si le z-score est inférieur à 2.

Un peu de regard critique.
Le seuil z=2${\displaystyle z=2}$ est une convention arbitraire.
Pour rappel, dans une distribution gaussienne, 95%${\displaystyle 95\%}$ des valeurs sont dans l'intervalle [x¯−2u(x),x¯+2u(x)]${\displaystyle [\overline{x}-2u\left(x\right),\overline{x}+2u\left(x\right)]}$, seulement 5%${\displaystyle 5\%}$ des mesures ont un z-score supérieur à 2.
Si le z-score est proche de 2 cela signifie surtout qu'il faut améliorer le processus de mesure de manière à diminuer les incertitudes.

5.2. Comparaison de deux mesures entre elles

pour savoir si deux mesures x1${\displaystyle x_1}$ et x2${\displaystyle x_2}$ sont compatibles entre elle on utilise l'écart bormalisé suivant :
z=|x2−x1|u(x1)2+u(x2)2−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle z=\frac{\left|x_2-x_1\right|}{\sqrt{u{\left(x_1\right)}^2+u{\left(x_2\right)}^2}}}$
On considère à nouveau que les mesure sont compatibles si leur écart normalisé est inférieur à 2.