Estimer des incertitudes

Estimer l'incertitude revient à évaluer l'erreur aléatoire.
Nous avons vu au chapitre précédent que la serie de mesures présente une distribution qui a souvent l'allure d'une gaussienne.
Pour caractériser la dispersion des résultats autour de la moyenne on définit l'écart-type noté σ. L'erreur systématique est supposé négligeable. Ce n'est qu'à la fin, lorsque l'on confronte théorie et expérience, que l'on peut expliquer un désaccord par l'existance d'un biais.

Il existe deux types d'estimations :

• les estimations de type A, on répète 𝑁 fois le mesurage et on fait une analyse statistique ;
• les estimations de type B,À partir d'une seule mesure on estime la valeur la plus probable et l'incertitude-type à l'aide de différentes informations (notices techniques) et d'hypothèses probabilistes.

1. Évaluation de type A (évaluation statistique)

Pour une série de N${\displaystyle N}$ mesures xi${\displaystyle x_i}$ avec (i=1,2,...,N)${\displaystyle (i=1,2,...,N)}$, on choisit comme résultat de mesure le valeur moyenne des mesures : x¯${\displaystyle \overline{x}}$
On prend comme incertitude-type la grandeur : u(x¯)=s(xi)N−−√${\displaystyle u\left(\overline{x}\right)=\frac{s\left(x_i\right)}{\sqrt{N}}}$
avec s(xi)${\displaystyle s\left(x_i\right)}$ est l'écart type expériemental de la série de mesure.
Rappel

ces valeurs se calculent automatiquement avec une calculatrice ou un tableur.
x¯=1N∑i=1Nxi${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i}$
s(xi)=1N−1∑i=1N(xi−x¯)2−−−−−−−−−−−−−−−−⎷${\displaystyle s\left(x_i\right)=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N{(x_i-\overline{x})}^2}}$

Il ne faut pas confondre l'incertitude-type d'une mesure unique s(xi)=u(xi)${\displaystyle s\left(x_i\right)=u\left(x_i\right)}$ (introduite au chapitre précédent) et l'incertitude-type de la moyenne u(x¯)${\displaystyle u\left(\overline{x}\right)}$.
On montre mathématiquement que u(x¯)=s(xi)N−−√${\displaystyle u\left(\overline{x}\right)=\frac{s\left(x_i\right)}{\sqrt{N}}}$

On a mesuré plusieurs fois l'éclairement d'une pièce avec le même luxmètre. On obtient comme série de mesure :

E(lux)	100,1	97,8	98,4	100,7	100,0	99,4	100,1	100,3	99,9	100,4

Déterminer pour cette série de mesures, le résultat de la mesure de E${\displaystyle E}$ et son incertitude-type associée. (*) ⭐⭐
Corrigé

On a comme valeur moyenne : E¯¯¯=99,71${\displaystyle \overline{E}=99,71}$ lux.
L'écart-type expérimentale vaut s(Ei)=0,9242${\displaystyle s\left(E_i\right)=0,9242}$ lux.
On a donc u(E)=0,924210−−√=0,2922${\displaystyle u\left(E\right)=\frac{0,9242}{\sqrt{10}}=0,2922}$ lux
avec 1 CS pour u(E)${\displaystyle u\left(E\right)}$ le résultat de la mesure s'écrit : E=(99,7±0,3)${\displaystyle E=(99,7\pm 0,3)}$ lux
avec 2 CS pour u(E)${\displaystyle u\left(E\right)}$ le résultat de la mesure s'écrit : E=(99,71±0,29)${\displaystyle E=(99,71\pm 0,29)}$ lux

2. Évaluation de type B (cas d'une mesure unique)

Dans le cas d'une loi uniforme, l'incertitude-type est : u(x)=a3–√${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}}$ où la valeur de a${\displaystyle a}$ dépend des situations expérimentales.

Appareils de mesure graduées
Si on lit le résultat sur une échelle graduée, on prendra a=${\displaystyle a=}$ 1 demi-graduation. L'incertitude-type est donc : u(x)=valeur de la graduation23–√${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{\text{valeur de la graduation}}{2\sqrt{3}}}$

Le banc d'optique est graduée tous les millimètre. Déterminer l'incertitude-type sur la mesure de la position d'une lentille. ⭐
Corrigé

L'incertitude-type est u(x)=0,53–√≈0,29${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{0,5}{\sqrt{3}}\approx 0,29}$ mm

Autres dispositifs avec "tolérance" du constructeur
Dans la pluspart des cas, les constructeurs fournissent une tolérance "±a${\displaystyle \pm a}$" pour les apparels de mesures et les composants.
On prendra pour incertitude-type : u(x)=a3–√${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}}$

Un constructeur indique sur une résistance R=(200±2)${\displaystyle R=(200\pm 2)}$ Ω${\displaystyle \Omega }$.
Déterminer l'incertitude-type sur la valeur de la résistance. ⭐
Corrigé

L'incertitude-type est u(x)=23–√≈1,15${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,15}$ Ω${\displaystyle \Omega }$

Mise au point sur un banc d'optique
Lors d'une mise au point sur un banc d'optique, toutes les positions dans un intervalle [xmin,xmax]${\displaystyle [x_{min},x_{max}]}$ donnent une image nette.
On choisira comme mesure x=xmax−xmin2${\displaystyle x=\frac{x_{max}-x_{min}}{2}}$ et on posera aussi a=xmax−xmin2${\displaystyle a=\frac{x_{max}-x_{min}}{2}}$.
L'incertitude-type associée est donc : u(x)=xmax−xmin23–√${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{x_{max}-x_{min}}{2\sqrt{3}}}$

On mesure la position x${\displaystyle x}$ d'une lentille sur un banc d'optique. L'image semble nette pour des valeurs comprises entre 15,3${\displaystyle 15,3}$ cm${\displaystyle \text{cm}}$ et 16,3${\displaystyle 16,3}$ cm${\displaystyle \text{cm}}$.
Déterminer l'incertitude-type liée à la latitude de mise au point.⭐
Corrigé

L'intervalle de mise au point (ou pointé) vaut 1${\displaystyle 1}$ cm =2a${\displaystyle =2a}$
L'incertitude-type est : u(x)=0,5 cm3–√≈2,9${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{0,5\text{cm}}{\sqrt{3}}\approx 2,9}$ mm${\displaystyle \text{mm}}$

Appareil digital
Certains appareils indiquent une tolérance en % et un nombre de digit : ±(a%+n⋅digit)${\displaystyle \pm (a\%+n\cdot \text{digit})}$
Le digit est la plus petite valeur affichable sur l'écran de l'appareil avec le calibre utilisé L'incertitude-type associée est : u(x)=a%×valeur de la mesure+n⋅digit3–√${\displaystyle u\left(x\right)=\frac{a\%\times \text{valeur de la mesure}+n\cdot \text{digit}}{\sqrt{3}}}$

On mesure une tension `V` à l'aide d'un voltmètre numérique réglé sur le calibre 200 mV.
Le manuel indique que pour ce calibre la précision est : `+-(0,1%+1" digit)"` et l'écran affiche 123.4
Déteminer l'incertitude-type de cette mesure et écrire le résultat de la mesure.⭐⭐
Corrigé

La tolérance vaut : `u(V)=(0,001xx123.4+1xx0,1)" mV"= 0,2234" mV "`
L'incertitude-type est : `u(V)=(0,2234)/sqrt3approx0,13` `mV`

• Avec 1 CS arrondi à l'exès pour `u(V)` le résultat de la mesure s'écrit : `V=(123,4+-0,2)` mV
• Avec 2 CS pour `u(V)` le résultat de la mesure s'écrit : `V=(123,40+-0,13)` mV

Cas où une grandeur a plusieurs sources d'incertitude
Une même grandeur peut avoir plusieurs erreurs aléatoires indépendantes auxquelles on associe les incertitudes-types u1(x),u2(x),...,un(x)${\displaystyle u_1\left(x\right),u_2\left(x\right),...,u_n\left(x\right)}$
L'incertitude-type associée est : u(x)=(u1(x))2+(u2(x))2+...+(un(x))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle u\left(x\right)=\sqrt{{\left(u_1\left(x\right)\right)}^2+{\left(u_2\left(x\right)\right)}^2+...+{\left(u_n\left(x\right)\right)}^2}}$

Mise au point sur un banc d'optique
On mesure la position x${\displaystyle x}$ d'une lentille sur un banc d'optique gradué tous les mm${\displaystyle \text{mm}}$. L'image semble nette pour des valeurs comprises entre 15,3${\displaystyle 15,3}$ cm${\displaystyle \text{cm}}$ et 16,3${\displaystyle 16,3}$ cm${\displaystyle \text{cm}}$.
Doit-on tenir compte de l'incertitude-type liée à la lecture des graduation en plus de celle liée à la latitude de mise au point ?⭐⭐⭐
Corrigé

L'intervalle de mise au point (ou pointé) vaut 1${\displaystyle 1}$ cm${\displaystyle \text{cm}}$=2a${\displaystyle =2a}$
L'incertitude-type est : u(x)1=0,5 cm3–√≈2,9${\displaystyle u{\left(x\right)}_1=\frac{0,5\text{cm}}{\sqrt{3}}\approx 2,9}$ mm${\displaystyle \text{mm}}$
L'incertitude-type liée à la lecture des graduations est : u(x)2=0,5 mm3–√≈0,29${\displaystyle u{\left(x\right)}_2=\frac{0,5\text{mm}}{\sqrt{3}}\approx 0,29}$ mm${\displaystyle \text{mm}}$
L'incertitude-type associée est : u(x)=(u1)2+(u2)2+(u2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle u\left(x\right)=\sqrt{{\left(u_1\right)}^2+{\left(u_2\right)}^2+{\left(u_2\right)}^2}}$
puisqu'il y a un facteur 10 entre les deux incertitudes-types, on peut négliger les incertitudes liées aux lectures des graduations.
u22=(u110)2=u21/100⇒u22<<u21⇒u21+2⋅u22≈u21${\displaystyle u_2^2={\left(\frac{u_1}{10}\right)}^2=u_1^2/100\Rightarrow u_2^2\text{<<}{u}_1^2\Rightarrow u_1^2+2\cdot u_2^2\approx u_1^2}$
u(x)=(u1)2−−−−√=u1${\displaystyle u\left(x\right)=\sqrt{{\left(u_1\right)}^2}=u_1}$

3. Incertitudes-types composées

Propagation des incertitudes
Nous savons qu'un mesure est toujours entachée d'erreurs dont on estime l'intensité par l'intermédiaire des incertitudes. Lorsque plusieurs grandueurs sont mesurées pour obtenir la valeur d'une autre grandeur par l'intermédiaire une formule par exemple, outre le calcul de la valeur estimée de cette grandeur, il faut aussi déterminer l'incertitude induite par toutes les incertitudes sur les grandeurs mesurées.

On déduit des deux formules précédentes les cas partculiers suivants :

Multiplier par une constante : x=α⋅x1${\displaystyle x=\alpha \cdot x_1}$
Propagation des incertitudes

u(x)=|a|⋅u(x1)${\displaystyle u\left(x\right)=\left|a\right|\cdot u\left(x_1\right)}$

Somme : x=x1+x2${\displaystyle x=x_1+x_2}$
Propagation des incertitudes

u(x)=(u(x1)2+(u(x2)2)−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle u\left(x\right)=\sqrt{(u{\left(x_1\right)}^2+\left(u{\left(x_2\right)}^2\right)}}$

Différence : x=x1−x2${\displaystyle x=x_1-x_2}$
Propagation des incertitudes

u(x)=(u(x1)2+(u(x2)2)−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle u\left(x\right)=\sqrt{(u{\left(x_1\right)}^2+\left(u{\left(x_2\right)}^2\right)}}$

Produit : x=x1×2${\displaystyle x=x_1{\times }_2}$
Propagation des incertitudes

u(x)|x|=(u(x1)x1)2+(u(x2)x2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle \frac{u\left(x\right)}{\left|x\right|}=\sqrt{{\left(\frac{u\left(x_1\right)}{x_1}\right)}^2+{\left(\frac{u\left(x_2\right)}{x_2}\right)}^2}}$

Quotient : x=x1x2${\displaystyle x=\frac{x_1}{x_2}}$
Propagation des incertitudes

u(x)|x|=(u(x1)x1)2+(u(x2)x2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle \frac{u\left(x\right)}{\left|x\right|}=\sqrt{{\left(\frac{u\left(x_1\right)}{x_1}\right)}^2+{\left(\frac{u\left(x_2\right)}{x_2}\right)}^2}}$

Puissance : x=A(x1)α${\displaystyle x=A{\left(x_1\right)}^{\alpha }}$
Propagation des incertitudes

u(x)|x|=|α|u(x1)x1${\displaystyle \frac{u\left(x\right)}{\left|x\right|}=\left|\alpha \right|\frac{u\left(x_1\right)}{x_1}}$

Pour déterminer l'interfrange i${\displaystyle i}$ d'une figure d'interférences, on mesure la distance d=5,7 cm${\displaystyle d=5,7\text{cm}}$ qui correspond à 10 interfranges.
Quel est l'interêt de mesure 20 interfranges ? Ecrire le résultat de la mesure de l'interfrange. ⭐⭐
Corrigé

Dans ce cas, on multiplie i${\displaystyle i}$ par la constante 110${\displaystyle \frac{1}{10}}$, en effet, i=d10⇔u(i)=u(d)10${\displaystyle i=\frac{d}{10}\iff u\left(i\right)=\frac{u\left(d\right)}{10}}$
L'incertitude-type sur la mesure de i${\displaystyle i}$ sera divisée par 10.
Si on utilise, par exemple une règle dgréduée tous les mm${\displaystyle \text{mm}}$ on obtient u(d)=0,6 mm${\displaystyle u\left(d\right)=0,6\text{mm}}$ et u(i)=0,06 mm${\displaystyle u\left(i\right)=0,06\text{mm}}$
Avec d=5,7 cm=57 mm${\displaystyle d=5,7\text{cm}=57\text{mm}}$ on obtient i=5,7 mm${\displaystyle i=5,7\text{mm}}$
Le résultat de la mesure s'écrit : i=(5,70±0,06) mm${\displaystyle i=(5,70\pm 0,06)\text{mm}}$

On détermine la distance entre deux lentilles l${\displaystyle l}$ en lisant les graduations x1${\displaystyle x_1}$ et x2${\displaystyle x_2}$ correspondants aux positions des lentilles sur le banc optique.
Quelle est l'incertitude-type sur cette mesure si le banc est gradué en mm${\displaystyle \text{mm}}$ ?⭐
Corrigé

Dans ce cas, l=x2−x1${\displaystyle l=x_2-x_1}$ ainsi u(l)=u(x2)+u(x1)${\displaystyle u\left(l\right)=u\left(x_2\right)+u\left(x_1\right)}$
avec une graduation de 1mm${\displaystyle 1\text{mm}}$, on a u(x1)=u(x2)=1 mm3–√${\displaystyle u\left(x_1\right)=u\left(x_2\right)=\frac{1\text{mm}}{\sqrt{3}}}$
u(l)=23–√ mm${\displaystyle u\left(l\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{mm}}$

L'intensité lumineuse est reliée à l'éclairement lumineux E${\displaystyle E}$ par la relation I=E⋅d2cosθ${\displaystyle I=\frac{E\cdot d^2}{\cos \theta }}$.
Dans cette relation, d${\displaystyle d}$ est la distance entre la source et le luxmètre et θ${\displaystyle \theta }$ est l'angle (contant) formé par la direction des rayons lumineus et la normale au capteur.
Exprimer l'incertitude-type relative de la mesure de l'intensité u(I)I${\displaystyle \frac{u\left(I\right)}{I}}$ en fonction des incertitudes-types relatives des autres mesures u(E)E${\displaystyle \frac{u\left(E\right)}{E}}$ et u(d)d${\displaystyle \frac{u\left(d\right)}{d}}$. ⭐⭐
Corrigé

u(l)I=(u(E)E)2+(2u(d)d)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle \frac{u\left(l\right)}{I}=\sqrt{{\left(\frac{u\left(E\right)}{E}\right)}^2+{\left(2\frac{u\left(d\right)}{d}\right)}^2}}$
Les constantes n'interviennent pas dans la propagation des incertitudes d'un produit. C'est le cas ici pour cosθ${\displaystyle \cos \theta }$.

3.1. Évaluation par la méthode de Monte-Carlo

Lorque la relation entre entre la grandeur souhaitée et les grandeurs mesurées est plus complexes que celles vues précédemment on peut utiliser une méthode de simulation numérique, la méthode de Monte-Cristo. Cette méthode consite à simuler un très grand nombre de tirages aléatoire des grandeurs mesurées et de calculer pour chaque tirage la valeur de la grandeur finale, pour en déduite l'écart-type et la moyenne.

Mesure de l'indice optique d'un prisme
Pour une radiation monochromatique donnée, l'indice d'un prisme est : n=sin(Dm+A2)sin(A2)${\displaystyle n=\frac{\sin \left(\frac{D_m+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}}$
avec A${\displaystyle A}$ ; l'angle du sommet qui fait face à la base du triangle et Dm${\displaystyle D_m}$ la déviation minimum d'une lumière monochromatique. Afficher

Lors d'un TP utilisant le goniomètre, les mesures expériementales donnent A=61,1°${\displaystyle A=61,1°}$ et Dm=64,9°${\displaystyle Dm=64,9°}$
Simulation 1 : u(A)=u(Dm)=0,1°${\displaystyle u\left(A\right)=u\left(D_m\right)=0,1°}$ avec une distribution uniforme, on obtient n¯=1,752958${\displaystyle \overline{n}=1,752958}$ et u(n)=0,001975${\displaystyle u\left(n\right)=0,001975}$
n=1,753±0,002${\displaystyle n=1,753\pm 0,002}$
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Simulation 2 : u(A)=u(Dm)=0,1°${\displaystyle u\left(A\right)=u\left(D_m\right)=0,1°}$ avec une distribution gaussienne , on obtient n¯=1,752944${\displaystyle \overline{n}=1,752944}$ et u(n)=0,001973${\displaystyle u\left(n\right)=0,001973}$
n=1,753±0,002${\displaystyle n=1,753\pm 0,002}$
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Simulation 3 : u(A)=u(Dm)=0,5°${\displaystyle u\left(A\right)=u\left(D_m\right)=0,5°}$ avec une distribution uniforme , on obtient n¯=1,75023${\displaystyle \overline{n}=1,75023}$ et u(n)=0,0099${\displaystyle u\left(n\right)=0,0099}$
n=1,75±0,01${\displaystyle n=1,75\pm 0,01}$
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Simulation 4 (plus proche de la réalité expérimentale) : u(A)=1°${\displaystyle u\left(A\right)=1°}$ et u(Dm)=0,2°${\displaystyle u\left(D_m\right)=0,2°}$, on obtient n¯=1,75${\displaystyle \overline{n}=1,75}$ et u(n)=0,0187${\displaystyle u\left(n\right)=0,0187}$
n=1,75±0,02${\displaystyle n=1,75\pm 0,02}$
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