Maths 1EDS / P1 - Probabilités conditionnelles

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Donner la formule de la probabilité conditionnelle $ P_A(B)= $

$ P_A(B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

A

et

B

sont deux événements d’un univers donné de probabilité non nulle.

1. Déterminer une probabilité conditionnelle

Définition : La probabilité de l’événement

B

sachant

A

est le nombre, noté

P_{A} (B)

, donné par :

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

Propriété (admise) :

0 \leq P_{A} (B) \leq 1

Méthode pour déterminer une probabilité conditionnelle :

Propriétés :

1) Evénement contraire : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égale à $1$ .	$P_{A} (\bar{B}) = 1 - P_{A} (B)$
2) Intersection d'événements : La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des événements inscrites sur les branches de ce chemin. Remarque : il est possible de "renverser" l'arbre si l'on a les probabilités de $A$ sachant $B$ .	$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ Remarque : on a aussi $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ Il suffit de multiplier chaque membre de l’égalité $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ par $P (A)$ . De même en multipliant l’égalité $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ par $P (B)$ .
3) Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.	$P (B) = P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B})$

PM(F)=P(M∩F)P(M)=0,240,4=0,6.
$P_{M} (\bar{F}) = 1 - P_{M} (F) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ .
La probabilité que l’individu soit non-fumeur sachant qu’au moins un de ses parents est fumeur est de 40 %.