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P1 - Probabilités conditionnelles
Probabilités / Probabilités Conditionnelles
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Donner la formule de la probabilité conditionnelle $ P_A(B)= $
$ P_A(B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$A$ et $B$ sont deux événements d’un univers donné de probabilité non nulle.
Déterminer une probabilité conditionnelle
Définition : La probabilité de l’événement $B$ sachant $A$ est le nombre, noté $P_A (B)$, donné par :
$$ P_A (B)= \frac{P(A∩B)}{P(A)} $$
Propriété (admise) : $0≤P_A (B)≤1 $
Méthode pour déterminer une probabilité conditionnelle :
- La calculer grâce à un tableau à double entrées.
- La lire dans un arbre pondéré.
Utiliser un arbre pondéré pour calculer des probabilités
Propriétés :
| 1) Evénement contraire : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égale à $1$. | $ P_A ( \overline{B} ) = 1 - P_A (B) $ |
|
2) Intersection d'événements : La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des événements inscrites sur les branches de ce chemin. Remarque : il est possible de "renverser" l'arbre si l'on a les probabilités de $A$ sachant $B$. |
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A (B) $ Remarque : on a aussi $ P(A \cap B) = P(B) \times P_B (A) $ Il suffit de multiplier chaque membre de l’égalité $ P_A (B) = \frac{P(A∩B)}{P(A)} $ par $ P(A)$.
De même en multipliant l’égalité $ P_B (A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ par $ P(B) $.
|
3) Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.  |
$ P(B) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B} ) $ |
-
$P_M (F)= \frac{P(M∩F)}{P(M)} = \frac{0,24}{0,4} =0,6$.
-
$P_M ( \overline {F} ) = 1-P_M (F)=1-0,6=0,4 $.
La probabilité que l’individu soit non-fumeur sachant qu’au moins un de ses parents est fumeur est de 40 %.
