P4 - Statistiques

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Savoir-faire

On considère une série de données statistiques :

1. Représenter une série statistique

1.1. Tableau des effectifs ou des fréquences

On peut regrouper ces données dans un tableau d'effectifs.

Valeurs	x1$x_1$	x2$x_2$	...$...$	xk$x_k$
Effectifs	n1$n_1$	n2$n_2$	...$...$	nk$n_k$

Pour construire le tableau des fréquences, il faut calculer les fréquences associées à chacunes des valeurs :

• L'effectif total est la somme des effectifs. N=n1+n2 + ... +nk$N=n_1+n_2+...+n_k$
• La somme des fréquences est égale à 1$1$.

1.2. Diagramme en bâtons ou diagramme circulaire

Diagramme en bâtons (ou en barres) :

• Chaque barre correspond à une valeur de la série de données.
• La hauteur de chaque barre donne l’effectif ou la fréquence associée à chaque catégorie.

Diagramme circulaire (ou semi-circulaire) :

• Les angles des secteurs sont proportionnels aux effectifs de la série de données.
• L'angle correspondant à l'effectif total est 360° pour le diagramme circulaire et 180° pour le diagramme semi-circulaire.

1.3. Histogramme et regroupement des données en classes de valeurs

2. Moyenne et écart-type

2.1. Moyenne et moyenne pondérée

Définitions :

• Série de données brutes :
  La moyenne x¯¯¯$\overline{x}$ est la somme de toutes les données de la série statistique, divisée par l’effectif total N$N$.
  x¯¯¯=x1+x2+...+xkN$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_k}{N}$$
• Série de données avec effectifs :
  La moyenne pondérée x¯¯¯$\overline{x}$ est :
  • la somme des produits des valeurs par leurs effectifs, divisée par l’effectif total N$N$.
    x¯¯¯=x1n1+x2n2+...+xknkN$$\overline{x}=\frac{x_1{n}_1+x_2{n}_2+...+x_k{n}_k}{N}$$
  • la somme des produits des valeurs par leurs fréquences.        x¯¯¯=x1f1+x2f2+...+xkfk$\overline{x}=x_1{f}_1+x_2{f}_2+...+x_k{f}_k$

Remarque : Pour des données regroupées en classes, on utilise le centre de chaque classe pour le calcul de la moyenne.

2.2. Variance et écart-type

Définitions :

• La variance V$V$ d’une série statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
  V=(x1−x¯¯¯)n1+(x2−x¯¯¯)n2+...+(xk−x¯¯¯)nkN$$V=\frac{(x_1-\overline{x})n_1+(x_2-\overline{x})n_2+...+(x_k-\overline{x})n_k}{N}$$
• L’écart-type σ$\sigma$ (se lit « sigma ») d’une série statistique est la racine carrée de la variance.  σ=V−−√$\sigma =\sqrt{V}$

Remarque : L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées et moins la moyenne représente de façon significative la série.

3. Médiane et écart interquartiles

Définition : Les quartiles Q1$Q_1$, Q2$Q_2$ et Q3$Q_3$ d’une série statistique sont trois quantités qui partagent la liste ordonnée des données de la série en 4 sous-listes ayant à peu près le même effectif, c’est-à-dire environ 25 % des données.

• Q1$Q_1$ est appelé le 1er quartile.
• Q3$Q_3$ est appelé le 3ème quartile.
• Q2$Q_2$ aussi noté Me$Me$, correspond à la médiane qui sépare la série ordonnée de données en deux sous-séries de même effectif.

Méthode de calcul : Pour faciliter le calcul de la médiane et des quartiles, on peut utiliser les effectifs (ou fréquences) cumulé(e)s croissant(e)s.

• l’effectif (ou fréquence) cumulé(e) croissant(e) de la valeur xi$x_i$ est la somme des effectifs de toutes les valeurs de la série inférieures ou égales à xi$x_i$.


• pour le calcul de la médiane :
  • Si l’effectif total de la série est impair, la médiane est la donnée centrale de la série.
  • S’il est pair, la médiane est la moyenne des deux données centrales de la série.


• pour le calcul des quartiles :
• avec les effectifs cumulés croissants :
  • Q1$Q_1$ est la valeur associée à un effectif cumulé environ égal à 0,25×N$0,25\times N$ (ou 14×N$\frac{1}{4}\times N$) .
  • Q3$Q_3$ est la valeur associée à un effectif cumulé environ égal à 0,75×N$0,75\times N$ (ou 34×N$\frac{3}{4}\times N$) .
• avec les fréquences cumulées croissantes :
  • Q1$Q_1$ est la valeur associée à une fréquence cumulée de 25 %.
  • Q3$Q_3$ est la valeur associée à une fréquence cumulée de 75 %.

On peut représenter ces informations dans un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) :

Remarque : L’intervalle interquartiles [Q1;Q3]$[Q1;Q3]$ contient environ 50% des données de la série.

Défintions : Deux paramètres statistiques permettent de mesurer la dispersion des valeurs autour de la médiane;

• L’étendue est la différence entre le maximum et le minimum de la série statistique.
• L’écart interquartiles est la différence entre Q1$Q_1$ et Q3$Q_3$.