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🠖 Géométrie

G3-équations de droites

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
  • Déterminer une équation cartésienne de droite.
  • Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Lien vers les exercices MathAlea
  1. Déterminer un vecteur normal d'une droite dont on donne l'équation cartésienne
  2. Déterminer une équation cartésienne de droite dont on donne un point et un vecteur normal
  3. Déterminer une équation cartésienne de droite :
    • un point et un vecteur normal de la droite sont donnés
    • un point et un vecteur directeur de la droite sont donnés
    • deux points de la droite sont donnés
    • la droite est une hauteur
    • la droite est une médiatrice
  4. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Question 1/8 : ✓
Géométrie / G4 - équations cartésiennes de droite Mémorisation 0x Réussite 0/0
Comment s'écrit l'équation cartésienne d'une droite ?
$ax+by+c=0$

Vecteur normal

Définition : Un vecteur normal à une droite $d$ est une vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.

Propriété : Soit $d$ la droite passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.
Un point $M$ appartient à la droite $d$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{AM}.\vec{n}=0$.

.

Équation cartésienne

Théorème

Théorème :
  • Soit $d$ une droite de vecteur normal $\vec{n} \left(\begin{array}{c} a\\b \end{array} \right)$.
    Une équation cartésienne de $d$ s'écrit $ax+by+c=0$.

  • Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels avec $(a;b) \neq (0;0)$.
    L'équation $ax+by+c=0$ est celle d'une droite $d$ de vecteur normal $\vec{n} \left(\begin{array}{c} a\\b \end{array} \right)$.
    Rappel :
    • Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vec{u} \left(\begin{array}{c} -b\\a \end{array}\right)$.
    • Une droite d'équation réduite $y=mx+p$ a pour vecteur directeur $\vec{v} \left(\begin{array}{c} 1\\m\end{array}\right)$.

Méthodes

Déterminer l'équation cartésienne d'une droite

On considère la droite $d$ passant par le point $A(3;-1)$ et de vecteur normal $\vec{n} \left(\begin{array}{c} -1\\5 \end{array} \right)$.
Déterminer une équation de $d$.

méthode 1 :

$M(x;y) \in d$ ⇔ $\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x-3 \\y+1 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c} -1\\5 \end{array} \right)$ sont orthogonaux.

⇔ $\overrightarrow{AM}.\vec{n}=0$

⇔ $-1 \times(x-3)+5 \times(y+1)=0$

⇔ $-x+5y+8=0$

méthode 2 :

  • $\vec{n} \left(\begin{array}{c} -1\\5 \end{array} \right)$ vecteur normal à $d$ donc $d$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=-1$ et $b=5$ soit $-x+5y+c=0$.

  • $A(3;-1) \in d$ donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $d$. $-3+5 \times (-1)+c=0$ soit $c=8$

    • Conclusion : $d$ a pour équation $-x+5y+8=0$

    Déterminer les coordonnées d'un projeté orthogonal

    On considère la droite $d$ passant par le point $A(3;-1)$ et de vecteur normal $\vec{n} \left(\begin{array}{c} -1\\5 \end{array} \right)$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $B(14;-4)$ sur la droite $d$.

    méthode : $H$ est le point d'intersection des droites $d$ et $(BH)$.
    Les droites $d$ et $(BH)$ sont orthogonales donc $\vec{u}\left(\begin{array}{c} 5\\1 \end{array} \right)$, un vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal de $(BH)$.

    vecteur normal à $d$ : $\vec{n} \left(\begin{array}{c} -1\\5 \end{array} \right)$
    point de $d$ : $A(3;-1)$
    équation de $d$ :$-x+5y+8=0$
    vecteur normal à $(BH)$ : $\vec{u} \left(\begin{array}{c} 5\\1 \end{array} \right)$
    point de $(BH)$ : $B(14;-4)$
    équation de $(BH)$ : $5x+y-66=0$
    .
    $H$ est le point d'intersection des droites $d$ et $(BH)$ donc les coordonnées de $H$ vérifient le système d'équations :

    $\left\{ \begin{array}{ll} -x+5y+8=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} -5x+25y+40=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 26y-26=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ 5x+1-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ x=13 \end{array} \right.$

    Conclusion : $H(1;13)$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $d$.

    • $\vec{u} \left(\begin{array}{c} 5\\1 \end{array} \right)$ vecteur normal à $(BH)$ donc $(BH)$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=5$ et $b=1$ soit $5x+y+c=0$.
    • $B(14;-4) \in (BH)$ donc les coordonnées de $B$ vérifient l'équation de $(BH)$. Ainsi $-3+5 \times (-1)+c=0$ soit $c=8$.

    Conclusion : $(BH)$ a pour équation $5x+y-66=0$

    1. On multiplie les coefficients de la 1ère équation par $5$.
    2. On additionne le deux équations membre à membre (de cette façon, l'inconnue $x$ disparait) et on garde une des deux équations de départ.
    3. On détermine $y$
    4. On en déduit la valeur de $x$ avec l'autre équation.