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🠖 Géométrie

G3-équations de droites

On se place dans un repère orthonormé (O;i→,j→).
Géométrie / G4 - équations cartésiennes de droite Apprentissage 0x Réussite 0/0
Comment s'écrit l'équation cartésienne d'une droite ?
$ax+by+c=0$
A savoir-faire :
  • Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur ou d’un vecteur normal à une droite
  • Déterminer si un point appartient ou non à une droite
  • Déterminer une équation cartésienne d’une droite
    Exercices MathAlea (correction avec la méthode 2, mais la méthode 1 est posible également)
    Dnas l'exercice 2, cinq situations différentes sont proposées :
    • un point et un vecteur normal de la droite sont donnés Vidéo MathEtTique
    • un point et un vecteur directeur de la droite sont donnés
    • deux points de la droite sont donnés Vidéo MathEtTique
    • la droite est une hauteur
    • la droite est une médiatrice
  • Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite
  • Calculer la distance d’un point à une droite

1. Vecteur normal

Définition : Un vecteur normal à une droite d est une vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de d.

Propriété : Soit d la droite passant par le point A et de vecteur normal n→.
Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM→ et n→ sont orthogonaux si et seulement si AM→.n→=0.

.

2. Equation cartésienne

2.1. Théorème

Théorème :
  • Soit d une droite de vecteur normal n→(ab).
    Une équation cartésienne de d s'écrit ax+by+c=0.

  • Soient a, b et c trois nombres réels avec (a;b)≠(0;0).
    L'équation ax+by+c=0 est celle d'une droite d de vecteur normal n→(ab).
    Rappel :
    • Une droite d'équation cartésienne ax+by+c=0 a pour vecteur directeur u→(−ba).
    • Une droite d'équation réduite y=mx+p a pour vecteur directeur v→(1m).

2.2. Méthodes

2.2.1. Déterminer l'équation cartésienne d'une droite

On considère la droite d passant par le point A(3;−1) et de vecteur normal n→(−15).
Déterminer une équation de d.

méthode 1 :

M(x;y)∈d ⇔ AM→(x−3y+1) et n→(−15) sont orthogonaux.

⇔ AM→.n→=0

⇔ −1×(x−3)+5×(y+1)=0

⇔ −x+5y+8=0

méthode 2 :

  • n→(−15) vecteur normal à d donc d admet une équation de la forme ax+by+c=0 avec a=−1 et b=5 soit −x+5y+c=0.

  • A(3;−1)∈d donc les coordonnées de A vérifient l'équation de d. −3+5×(−1)+c=0 soit c=8

    • Conclusion : d a pour équation −x+5y+8=0

    2.2.2. Déterminer les coordonnées d'un projeté orthogonal

    On considère la droite d passant par le point A(3;−1) et de vecteur normal n→(−15).
    Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point B(14;−4) sur la droite d.

    méthode : H est le point d'intersection des droites d et (BH).
    Les droites d et (BH) sont orthogonales donc u→(51), un vecteur directeur de d est un vecteur normal de (BH).

    vecteur normal à d : n→(−15)
    point de d : A(3;−1)
    équation de d :−x+5y+8=0
    vecteur normal à (BH) : u→(51)
    point de (BH) : B(14;−4)
    équation de (BH) : 5x+y−66=0
    .
    • $\vec{u} \left(51 \right)$ vecteur normal à $(BH)$ donc $(BH)$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=5$ et $b=1$ soit $5x+y+c=0$.
    • $B(14;-4) \in (BH)$ donc les coordonnées de $B$ vérifient l'équation de $(BH)$. Ainsi $-3+5 \times (-1)+c=0$ soit $c=8$.

    Conclusion : $(BH)$ a pour équation $5x+y-66=0$

    $H$ est le point d'intersection des droites $d$ et $(BH)$ donc les coordonnées de $H$ vérifient le système d'équations :

    $\left\{ \begin{array}{ll} -x+5y+8=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.$

    Conclusion : $H(1;13)$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $d$.

    1. On écrit la variable $x$ en fonction de $y$ dans la 1ère équation.
    2. On remplace $x$ par son expression en fontion de $y$ dans la 2nde équation.
    3. On détermine $y$ en résolvant l'équation obtenue.
    4. On en déduit la valeur de $x$ avec la 1ère équation, en remplaçant $y$ par la valeur obtenue.

    $\left\{ \begin{array}{ll} -x+5y+8=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 5y+8=x \\ 5(5y+8)+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=5y+8 \\ 26y-26=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ x=5 \times 1 +8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ x=13 \end{array} \right.$

    1. On multiplie les coefficients de la 1ère équation par $5$.
    2. On additionne le deux équations membre à membre (de cette façon, l'inconnue $x$ disparait) et on garde une des deux équations de départ.
    3. On détermine $y$
    4. On en déduit la valeur de $x$ avec l'autre équation.

    $\left\{ \begin{array}{ll} -x+5y+8=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} -5x+25y+40=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 26y-26=0 \\ 5x+y-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ 5x+1-66=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} y=1 \\ x=13 \end{array} \right.$