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🠖 Géométrie

G2-Produit Scalaire

Cette notion est utilisée :
  • en Physique : pour mesurer l’énergie nécessaire au déplacement d’un objet soumis à une force.
    On parle du « travail d’une force ».
  • en géométrie : pour résoudre des problèmes d’angles et de distances avec des applications en cartographie par exemple.
  • Calcul fractionnaire
  • Résolution d'équation
  • Calcul avec les racine carrées
  • Propriétés des quadrilatères particuliers
  • Droites remarquables dans un triangle
  • Les vecteurs
  • La trigonométrie
Question 1/8 : ✓
Géométrie / G2-Produit Scalaire Mémorisation 0x Réussite 0/0
Donner la formule du produit scalaire utilisant la mesure de l'angle entre deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow {AC}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow {AC}=AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}$
  • Calculer un produit scalaire de deux vecteurs :
    • avec les normes et un angle.
    • avec les coordonnées des vecteurs dans un repère.
    • avec la relation de Chasles et les propriétés de linéarité, de colinéarité et d'orthogonalité.
    • avec la projection orthogonale et la propriété de colinéarité.
  • Utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour calculer un angle.
  • Utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour calculer une longueur.
  • Utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour montrer une orthogonalité.
Exercices MathAlea
  1. Calculer un produit scalaire avec des normes et d'un angle.
  2. Calculer un produit scalaire avec des coordonnées.
  3. Choisir la méthode la plus adaptée pour calculer un produit scalaire.
  4. Utiliser l'orthogonalité pour calculer des coordonnées.
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  • la carte mentale du cours

Définition

Soient $\vec{u} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel défini par $\boxed { \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'}$.
Soient $A(1;2)$, $B(5;3)$ et $C(-2;5)$ trois points dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}5-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2-1\\5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$
donc $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4 \times (-3) + 1 \times 3=-12+3=-9$

Propriétés

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et pour tous réels $k$ on a :
  • $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (Symétrie du produit scalaire)
auto
  • $\left. \begin{array}{ll} \vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w} \\ (k\vec{u}).\vec{v}=k \times (\vec{u}.\vec{v}) \end{array} \right \} $ (Linéarité du produit scalaire)

Orthogonalité

Définition

On dit que deux vecteurs $u ⃗$ et $v ⃗$ sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires.

Propriété

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\boxed { \vec{u}.\vec{v}=0}$. auto
Dans l'exemple de la partie 1., les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?

Deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires lorsque $ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.
or $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-9 \neq 0$ donc $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires.

auto

Colinéarité

Propriété

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires et de même sens alors $\vec{u}.\vec{v}=\lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert$.
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires et de sens contraire alors $\vec{u}.\vec{v}=-\lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert$.

Cas particulier du carré scalaire

Propriété : $\vec{u}.\vec{u}=\lVert \vec{u} \rVert^2$

En particulier, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\left\lVert \overrightarrow{AB} \right\rVert^2=AB^2$

Définition : on appelle carré scalaire le nombre $\lVert \vec{u} \rVert^2$ également noté $ \vec{u} ^2$.

Produit scalaire et projeté orthogonal

Propriété : Soit $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. On a $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OH}$

Dans chaque cas, calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. (Un carreau représente une unité).

$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. On a $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et de même sens donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=AB \times AH=5 \times 3=15$
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires et sens contraire donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=- (AB \times AH)=- (5 \times 3)=-15$
.

Produit scalaire et angle

Propriété : Soient A, B et C trois points distincts du plan.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB \times AC \times cos \left( \widehat{BAC} \right)$

Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ dans le triangle équilatéral $ABC$ de côté 7 cm.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB \times AC \times cos \left( \widehat{BAC} \right)=7 \times 7 \times cos \left( \frac{\pi}{3} \right)=49 \times \frac{1}{2}=24,5 $
.