Les ondes électromagnétiques

Certaines propriétés de la lumière ne peuvent pas être expliquées par le modèle géométrique du rayon de lumière, les physiciens ont alors été amenés à établir un modèle « ondulatoire » de la lumière. Celui-ci consiste à décrire la lumière comme des ondes : les ondes lumineuses qui sont des ondes périodiques décrites par les mêmes grandeurs physiques que les ondes mécaniques : période, fréquence, célérité et longueur d’onde. Il a été établi au XVIIIème siècle que la lumière était une onde électromagnétique particulière.

La description des ondes électromagnétiques constitue le point de départ de l'étude de la polarisation.

À l’issue de cette partie, l’étudiant doit être capable de :

• définir qualitativement une onde électromagnétique plane progressive périodique ;
• identifier la double périodicité spatiale et temporelle ;
• relier longueur d’onde, période, fréquence et célérité ;
• exploiter l’expression du champ électrique d’une onde électromagnétique sinusoïdale ;

1. La lumière est une onde électromagnétique plane progessive périodique

Définition

Une onde électromagnétique (OEM) est une perturbation des propriétés électriques et magnétiques du milieu qui se propage dans le vide ou dans un milieu matériel en transportant de l'énergie et de l'information.
Une (OEM) est constituée d'un champ électrique E⃗ ${\displaystyle \overrightarrow{E}}$ et d'un champ magnétique B⃗ ${\displaystyle \overrightarrow{B}}$ qui oscillent à la même fréquence. Une OEM est une onde transversale car les deux champs sont constament perpendiculaires entre-eux et avec la direction de propagation k⃗ ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$.

Les vecteurs champ électrique ⃗𝐸 et champ magnétique ⃗𝐵 conservent chacun la même valeur et la même direction en tout point d'un plan perpendiculaire à la direction de propagation, il s'agir d'une onde plane.

Double, périodicité des ondes périodiques :

Chaque point du milieu où l’onde se propage subit une perturbation temporellement périodique.
À un instant donné le milieu de propagation de l’onde est perturbé de manière spatialement périodique.
à retenir : La perturbation se répète dans le temps (période temporelle T${\displaystyle T}$) et dans l'espace (période spatiale λ ou longueur d'onde)

Grandeurs caractéristiques :

Les ondes électromagnétiques sont des ondes sinusoïdales caractérisées par plusieurs grandeurs physiques (longueur d'onde λ${\displaystyle \lambda }$, période T${\displaystyle T}$, fréquence ν${\displaystyle \nu }$ et amplitude).
La longueur d’onde correspond à la distance parcourue par la perturbation pendant une durée égale à une période. On a donc :

c=λT⇔λ=c⋅T⇔T=λc${\displaystyle c=\frac{\lambda }{T}\iff \lambda =c\cdot T\iff T=\frac{\lambda }{c}}$ ou bien c=λ⋅ν⇔λ=cν⇔ν=cλ${\displaystyle c=\lambda \cdot \nu \iff \lambda =\frac{c}{\nu }\iff \nu =\frac{c}{\lambda }}$

Spectre des OEM

Les ondes électromagnétiques sont classées en fonction de leur fréquence dans ce que l’on appelle le « spectre électromagnétique »

Indice d'un milieu

Dans un milieu transparent, homogène, isotrope, la lumière se propage moins vide que dans le vide.
On définit l'indice n${\displaystyle n}$ du milieu comme étant le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide c${\displaystyle c}$ par sa vitesse v${\displaystyle v}$ dans le milieu.
Ainsi l'indice du milieu est une grandeur sans dimension ≥1${\displaystyle \ge 1}$ : n=cv${\displaystyle n=\frac{c}{v}}$

2. Fonction d'onde d'une lumière monochromatique

En optique, à chaque fréquence (ou, de manière équivalente, à chaque longueur d'onde dans un milieu donné) est associée une couleur.
Une onde ne comportant qu'une seule fréquence est appelée onde monochromatique (ou vibration monochromatique).
Une onde lumineuse monochromatique est une onde sinusoïdale.
La grandeur physique qui la décrit (par exemple le champ électrique) dépend à la fois de la position `(x)` et du temps `(t)`.

Mathématiquement, cette onde peut être représentée sous différentes formes selon le contexte d'étude :

• par une fonction sinusoïdale (cosinus ou sinus)
• un vecteur de Fresnel (vecteur tournant)
• un nombre complexe

Sinusoïdale : `Psi(x,t)=Acos(omega*t+-k*x+varphi_0)`
ou bien `Psi(x,t)=Acos(omega*t+-varphi(x))` ou bien `Psi(x,t)=Acos(varphi(x,t))`

• A : amplitude c'est à dire la valeur maximale de l'onde
• `varphi_0` : phase à l'origine c'est à dire lorsque `x=0` et `t=0` (en radian)
• `omega` : pulsation ou fréquence angulaire, en `[rad*s^-1]`
• `k` : pulsation ou fréquence angulaire, en `[rad*s^-1]`

`Psi(x,t)=Acos(omegat-kx)` signifie que l'onde se propage vers les x croissants `Psi(x,t)=Acos(omegat+kx)` signifie une propagation vers les x décroissants

Vecteur : Ψ⃗ (r⃗ ,t)=A⃗ cos(ωt±k⃗ ⋅r⃗ ±φ0)${\displaystyle \overrightarrow{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{A}\cos (\omega t\pm \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}\pm {\phi }_0)}$

Ici, l'onde se propage vers les `x` croissants
Le vecteur champ électrique est orienté selon `y`
`vec(E)(x,t)=E_0cos(omegat-k*x)vec(u_y)`
Le vecteur champ magnétique est orienté selon `z`
`vec(B)(x,t)=(E_0)/c*cos(omegat-k*x)vec(u_z)`

Notation complexe : Ψ(x,t)=Aei(ωt±kx+φ0)${\displaystyle \Psi (x,t)=A{e}^{i(\omega t\pm kx+{\phi }_0)}}$

Grandeurs temporelles d'une onde monochromatique :

• La pulsation : `omega` (ou fréquence angulaire), en `[rad*s^-1]`
• La fréquence `nu=omega/(2pi)` en hertz `[Hz]equiv[s^-1]`
• La période : `T=1/nu=(2pi)/omega` en seconde `[s]`
à retenir. Pulsation en `[rad*s^-1]` : `omega=(2pi)/T=2pi*nu` Grandeurs spatiales d'une onde monochromatique :

• Le vecteur d'onde `veck` qui indique la direction de propagation en `[rad*m^-1]`
• Le nombre d'onde `sigma=norm(veck)/(2pi)` en `[m^-1]`
• La longueur d'onde : `lamda=1/sigma=(2pi)/(norm(veck))` en mètre `[m]`
à retenir. Vecteur d'onde en `[rad*m^-1]` : `norm(veck)=(2pi)/lambda=2pi*sigma`

Montrer que la célérité de l'onde s'écrit : c=ωk${\displaystyle c=\frac{\omega }{k}}$
Correction

Par définition de la vitesse c=λT${\displaystyle c=\frac{\lambda }{T}}$
avec λ=2πk${\displaystyle \lambda =\frac{2\pi }{k}}$ et T=2πω${\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }}$ on a c=2πk2πω${\displaystyle c=\frac{\frac{2\pi }{k}}{\frac{2\pi }{\omega }}}$ soit c=(2πk)×(ω2π)=ωk${\displaystyle c=\left(\frac{2\pi }{k}\right)\times \left(\frac{\omega }{2\pi }\right)=\frac{\omega }{k}}$