L’optique géométrique, essentiellement basée sur le concept de rayon lumineux, permet d’interpréter simplement la formation des images à l’aide de lentilles et/ou miroirs.
Cette théorie approximative ne rend pas compte de l’aspect ondulatoire de la lumière. Or, on sait depuis la théorie électromagnétique de Maxwell et de sa confirmation par Hertz, que la lumière est une onde électromagnétique. Dès lors, certains phénomènes optiques comme les interférences lumineuses et la diffraction ne peuvent pas s’interpréter sans tenir compte de ces aspects ondulatoires.
3. Chemin optique et déphasage
On considère un rayon lumineux allant d'un d'un point `M` jusqu'en un point `N`
Par définition, le chemin optique `(MN)` parfois noté `L_(MN)` est : `L_(MN)=c*t_(MN)`
avec `c`, la célérité de la lumière dans le vide et `t_(MN)` le temps mis par la lumière pour aller de `M` à `N`
Montrer que dans le vide, le chemin optique (MN) est égal à la distance MN : (MN)=LMN=MN ⭐
Par définition du chemein optique : LMN=c⋅tMN par définition de la vitesse : (vitesse=distancedurée) dans notre cas (c=MNtMN) ou bien tMN=MNc
donc LMN=c⋅MNc=MN
Montrer que dans un milieu homogène, transparent et isotrope : (MN)=LMN=n⋅MN ⭐
Par définition du chemin optique : LMN=c⋅tMN par définition de la vitesse : (vitesse=distancedurée) dans notre cas (v=MNtMN) ou bien tMN=MNv
avec n=cv⇔v=cn on a tMN=MNcn soit tMN=n⋅MNc
donc LMN=c⋅n⋅MNc=n⋅MN
à retenir
Dans un milieu homogène, transparent et isotrope d'indice `n` , le chemin optique est `(MN)=L_(MN)=n*MN` Pour une onde monochromatique, le déphasage entre deux points d'un rayon ne dépend que du chemin optique entre ces points, il est donné par la relation :
`Deltaphi_(MN)=(2pi)/lamda*L_(MN)`
2. Interférence entre deux ondes
Lorsque l’on superpose deux faisceaux monochromatiques, l’intensité qui en résulte varie entre un maximum qui dépasse la somme des intensités et un minimum qui peut être nul. Ce phénomène est appelé interférence et concerne tout phénomène ondulatoire.
En optique, son observation est rendue difficile car les sources réelles ne sont jamais absolument monochromatiques: elles sont le siège de fluctuations aléatoires de phase et d’amplitude qui brouillent les interférences.
2.1. Superposition de deux ondes non synchrones
Lorsque deux ondes non synchrones se superposent, l’intensité qui en résulte est simplement la somme des intensités de chacunes des ondes. `I=I_1+I_2`
Dans ce cas il n'y a pas d'interférences
Montrer que dans le cas d'ondes non synchrones, l'intensité résultante est la somme des intensités de chacunes des ondes. ⭐⭐⭐
Au point `M` l’état ondulatoire de chaque onde peut s’écrire : `Psi(t)=Psi_1(t)+Psi_2(t)`
Avec `Psi_1(t)=A_1cos(omega_1t-phi_1)` et `Psi_2(t)=A_2cos(omega_2t-phi_2)`
L'intensité est la moyenne du carré de la fonction d'onde. `I="<"Psi(t)^2">"`
`"<"cos(at)*cos(bt)">"={(0" si "aneb),(1/2 " si " a=b):}`
Avec `"<"cos^2(omega_1t-phi_1)">"="<"cos^2(omega_2t-phi_2)">"=1/2`
et `"<"cos(omega_1t-phi_1)cos(omega_2t-phi_2)">"=0`
On obtient : `I="<"Psi(t)^2">"=(A_1)^2/2+(A_2)^2/2=I_1+I_2`
2.2. Superposition de deux ondes synchrones
L’intensité résultant de la superposition de deux ondes n’est pas égale à la somme des intensités. On dit qu’il y a un phénomène d’interférence ou que les ondes interfèrent.
Montrer que dans le cas d'ondes synchrones, l'intensité résultante est `I=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)"<"cosDeltaphi">"` ⭐ ⭐⭐⭐
Au point `M` l’état ondulatoire de chaque onde peut s’écrire : `Psi(t)=Psi_1(t)+Psi_2(t)`
Avec `Psi_1(t)=A_1cos(omegat-phi_1)` et `Psi_2(t)=A_2cos(omegat-phi_2)`
L'intensité est la moyenne du carré de la fonction d'onde. `I="<"Psi(t)^2">"`
`"<"cos(at)*cos(bt)">"={(0" si "aneb),(1/2 " si " a=b):}`
`cos(a)*cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2`
Par définition l'intensité est la moyenne du carré de la fonction d'onde. `I="<"Psi(t)^2">"`
De plus, au point `M` l’état ondulatoire de chaque onde peut s’écrire : `Psi(t)=Psi_1(t)+Psi_2(t)`
Avec `Psi_1(t)=A_1cos(omegat-phi_1)` et `Psi_2(t)=A_2cos(omegat-phi_2)`
On obtient `I="<"Psi(t)^2">"="<"(Psi_1(t)+Psi_2(t))^2">"="<"(A_1cos(omegat-phi_1)+A_2cos(omegat-phi_2))^2">"`
En développant : `I="<"(A_1)^2cos^2(omegat-phi_1)+ (A_2)^2cos^2(omegat-phi_2)+2A_1A_2cos(omegat-phi_1)cos(omegat-phi_2)">"`
Avec `"<"cos^2(omegat-phi_1)">"="<"cos^2(omegat-phi_2)">"=1/2`
et sachant que `"<"cos(omegat-phi_1)cos(omegat-phi_2)">"=1/2(cos(2omegat-phi_1)+cos(phi_2-phi_1)`
On obtient : `I=(A_1)^2/2+(A_2)^2/2+A_1A_2"<"cos(phi_2-phi_1)">"`
Comme `I_1="<"Psi_1(t)^2">"=A_1` et `I_2="<"Psi_2(t)^2">"=A_2` et en notant la différence de phase `Deltaphi=(phi_2-phi_1)`
On obtient bien que l'itensité résultant s'écrit : `I=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)"<"cosDeltaphi">"`
L'onde issue de la source `S_1` arrive en `M` avec un retard de phase `phi_1=(2pi)/lambdaL_(S_1M)+varphi_1`
de même pour l'onde issue de `S_2` : `phi_2=(2pi)/lambdaL_(S_2M)+varphi_2` de sorte que : `Deltaphi=(2pi)/lambdadelta+Deltavarphi`
avec `delta=L_(S_2M)-L_(S_1M)`, la différence de chemin optique (appelé aussi différence de marche).
Pour le déphasage `Deltavarphi=varphi_2-varphi_2`, on distingue deux cas :
Si `Deltavarphi` varie de façon aléatoire, alors `"<"cosDeltavarphi">"=0`.
dans ce cas il n'y a pas d'interférence. On dit que les sources sont incohérentes
Si `varphi_1` et `varphi_2` varient de façon aléatoire mais pas `Deltavarphi` qui reste constant
les sources sont dites cohérentes et il y'a des interférences.
à retenir Différence de phase : Le cas le plus simple correspond à deux sources qui émettent en phase : `varphi_1=varphi_2` : dans ce cas la différence de phase est `DeltaPhi=(2pidelta)/lambda` Formule de Fresnel : l'intensité résultante de la superposition de deux ondes synchrones, cohérentes s'écrit : `I=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)cosDeltaphi`
L'intensité résultante n'est pas égale à la somme des intensités, les ondes interfèrent, le terme `2sqrt(I_1I_2)cosDeltaphi` représente le terme d'interférence.
2.3. Superposition de deux ondes synchrones de même intensité
Montrer que l’intensité résultant de la superposition de deux ondes synchrone de même intensité `I_0` s'écrit :
`I=2I_0(1+cosDeltaphi)`
Supposons maintenant un rayon monochromatique de pulsation `omega`
Au point `M`, son état vibratoire est donné par : `Psi(M,t)=Acos(phi(M))=Acos(omegat-varphi)`
Au point `N`,le signal reçu corespond au signal qui existait en `M` à l'instant `t-t_(MN)`
Au point `N`, son état vibratoire est donc : `Psi(N,t)=Acos(phi(N))=Acos(omega(t-t_(MN))-varphi)`
Montrer que le déphasage entre deux points `M` et `N` est `Delta(phi_(MN))=phi(M)-phi(N)=(2pi)/lamda*L_(MN)` ⭐⭐⭐
Avec `omega=(2pi)/T` et `lambda=c*T iff T=lambda/c` on a : `omega=(2pi*c)/lambda`
Avec `L_(MN)=c*t_(MN) iff t_(MN)=L_(MN)/c`
`Delta(phi_(MN))=omega*t_(MN)=(2pi*c)/lambda*L_(MN)/c=(2pi)/lamda*L_(MN)`
Il existe des endroits où l’intensité est maximale qui forment alors des franges brillantes.
Ces endroits correspondent à la superposition d’ondes en phase (`Deltaphi=2kpi` avec `kinZZ`).
Ce qui quadruple l’intensité du rayonnement (`Deltaphi=2kpiRightarrowcosDeltaphi=1RightarrowI=4I_0`).
Dans ce cas les interférences sont constructives.
De même, il existe des endroits où l’intensité est nulle qui forment alors des franges sombres et qui correspondent à la superposition d’ondes en opposition de phase `Deltaphi=(2k+1)pi` avec `kinZZ`.
Ce qui annule l’intensité du rayonnement (`Deltaphi=(2k+1)piRightarrowcosDeltaphi=-1RightarrowI=0`). Dans ce cas les interférences sont destructives.
à retenir :
Deux ondes interfèrent de façon constructive quand leur déphasage est un multiple de `2pi`, c’est-à-dire quand la différence de chemin optique est un multiple de longueur d’onde. Interférence constructive : `Deltaphi=2kpi`
ou `delta=klambda` avec `kinZZ`
Deux ondes interfèrent de façon destructive quand leur déphasage est un multiple impair de `pi`, c’est-à-dire quand la différence de chemin optique est un multiple impair d'une demi-longueur d’onde. Interférence destrutrive : `Deltaphi=(2k+1)pi`
ou `delta=(2k+1)lambda/2` avec `kinZZ`
3. Franges d'interférence et facteur de visibilité
