🠖 Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères
Cours
1. Origine du binaire en informatique
Pour communiquer, deux êtres humains doivent parler la même langue. L'échange d'informations entre les composants d'un ordinateur repose sur le même principe.
Dans les années 40, lorsqu'il a fallu passer de l'idée abstraite de machine de Turing (modèle mathématique) à
la réalisation concrète du premier ordinateur (machine physique), la question des composants matériels à
choisir s'est posée (transistor, lampe, DEL, aimant, tube, bande, …). Pour ces composants,
il est possible de réduire leur fonctionnement à 2 états exclusifs l'un de l'autre : état 0 et état 1.
le transistor est bloqué (état 0) ou passant (état 1),
la lampe est éteinte (état 0) ou allumée (état 1),
le ruban est trouée (état 0) ou non (état 1),
la bande magnétique présente un pôle Nord (état 0) ou Sud (état 1).
Le langage finalement choisi pour l'informatique est le binaire, dont l'unité est le bit : binary digit (ou nombre binaire), pouvant prendre comme seules valeurs 0 ou 1.
Analogie : Notre langage humain occidental repose sur 26 valeurs distinctes, les lettres de l'alphabet. En réalité, ce nombre augmente si l'on inclut les accents et la ponctuation ...
2. Représentation binaire
Un ordinateur réalise des calculs, il faut donc être capable de convertir tous nos nombres habituels écrit en base décimale, sous forme de mots binaires composés uniquement d'une suite de 0 et de 1, c'est-à-dire écrits en base deux.
Pour nos nombres décimaux, le chiffre de poids le plus fort (ici la centaine) est placé à gauche :
Nombre décimal :
257(10) = (2 × 100) + (5 × 10) + (7 × 1) = (2 × 102) + (5 × 101) + (7 × 100)
Il en sera de même en binaire :
Nombre binaire :
1101(2) = (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) = 23 + 22 + 20 = 8 + 4 + 1 = 13(10)
Pour compter en binaire, il est alors important de connaître ses puissances de 2 par coeur :
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
En informatique, les bits seront souvent regroupés par 8 pour former un octet.
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 1 - Binaire
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/4
Difficulté :
Combien d'état différents peuvent être définis avec un bits ?
Doit être un entier.
À l'inverse, il faut être capable de trouver l'écriture binaire d'un nombre décimal :
Exemple : 26(10) = (1 × 24) + 10
= (1 × 24) + (1 × 23) + 2 = (1 × 24) + (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (0 × 20)
= 11010(2)
3. Méthode de conversion : décimal vers binaire
Méthode des divisions successives par deux :
Réaliser des divisions successives sur le nombre décimal à convertir puis sur les quotients obtenus.
Dès que le quotient vaut 0, lire les restes obtenus de dernier au premier.
Méthode rapide :
Écrire les puissances de 2 de droite à gauche jusqu'à atteindre la valeur du nombre décimal à convertir.
En commençant par la gauche, si la puissance de 2 est inférieure ou égale au nombre, inscrire 1
sous la puissance de 2 sinon 0 et calculer le reste.
Poursuivre ainsi en comparant les restes aux puissances de 2 jusqu'à atteindre 1=20.
Attention : Aucune question trouvée ! Vérifier les numéros des questions.
4. Représentation hexadécimale
L'hexadécimal n'est pas utilisée par les machines qui travaillent en binaire mais cette représentation a l'avantage d'être 4 fois plus courte à écrire, ce qui améliore
sa lisibilité pour un humain.
L'hexadécimal utilise 16 symboles : les dix chiffres (de 0 à 9) et les six premières lettres de l'alphabet en
majuscule.
Base 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Base 2
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Conversion des entiers naturels de la représentation hexadécimale à la représentation décimale :
Exemple : A3(16) = 10 × 161 + 3 × 160 = 10 × 16 + 3 × 1 = 160 + 3 = 163(10)
Pour convertir des entiers naturels de la représentation binaire à la représentation hexadécimale : Il suffit de regrouper les bits par quatre et de leur associer leur chiffre hexadécimal.
Exemple : 0110 100000101101(2) =
682D(16)
Pour convertir de la base 10 vers la base 16, il sera souvent plus rapide de passer par la base 2 mais la méthode est
similaire.
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 2 - Hexadécimal
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/6
Difficulté :
Quelle valeur décimale est représentée par A(16) ?
Doit être un entier.
Compter en binaire c'est comme en décimal : dès que l'on a atteint le maximum (1 en binaire, 9 en
décimal) sur un emplacement, il faut ajouter 1 sur l'emplacement à gauche et repartir de 0.
Compteur décimal
Compteur binaire
Décimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
Binaire
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
...
Question :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 2 - Hexadécimal
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Rappel de la méthode de l'addition vue à l'école primaire :
sans retenue :
On additionne les unités entre elles `3 + 4 = 7`, puis les dizaines `1+2=3`.
Ainsi on obtient 3 dizaines et 7 unités soit `23 + 14 = 37`
avec retenue :
On additionne les unités entre elles `8 + 4 = 12`, on pose 2 unité et on retient une dizaine qu'il faudra additionner aux autres dizaines `1_((text(retenue)))+2+3=6`.
Ainsi on obtient 6 dizaines et 2 unités soit `28 + 34 = 62`
Dans une addition avec des nombres binaires, il peut aussi y avoir des retenues, comme en décimal.
En base 10, on ne peut pas dépasser le chiffre 9 et les retenues commencent donc à partir de 9.
En base 2,
on ne peut pas dépasser le chiffre 1 et les retenues commencent donc à partir du chiffre 1.
Exemple :Poser une addition en binaire (Image cliquable)
En base 16, les retenues commencent après le chiffre F (valant 15 en décimal).
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 3 - Addition et soustraction
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/7
Difficulté :
Quel est le résultat binaire de l'addition `1_((2)) + 1_((2))` ?
Doit être un mot binaire.
Rappel de la méthode de la soustraction :
Ne pouvant pas soustraire 6 à 1, on prend une dizaine pour soustraire 6 à 11 et obtenir 5 unités.
Attention, ayant pris une dizaine, il faut maintenant soustraire 2 à 3 (et non 4) pour obtenir 1 dizaine.
Ainsi, `41 - 26 = 15`
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 3 - Addition et soustraction
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/9
Difficulté :
Poser, comme en primaire, la soustraction décimale `532_((10)) - 199_((10))`.
Doit être un entier.
5. Codage des entiers relatifs (positifs et négatifs) : le binaire signé
Pour coder les entiers négatifs, il faut coder le signe. Dans la représentation en binaire signé sur 8 bits, le bit
de poids le plus fort (celui tout à gauche) sert à coder le signe :
1 pour un entier négatif,
0 pour un entier positif.
Exemple : Pour une représentation binaire signé sur 1 octet : −4(10) = 1000 0100(2𝑠)
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 4 - Codage des entiers relatifs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/16
Difficulté :
Quelle est la représentation en binaire signé sur 8 bits de la valeur décimale 1(10) ?
Doit être un octet.
Cette représentation des entiers relatifs ne conserve pas l'addition. En effet, si l'on fait l'addition binaire des représentations en binaire signé sur 8 bits de `4` et `-4`, le résultat n'est pas nul et vaut -8.
6. Codage des entiers relatifs : le complément à 2
Pour conserver la propriété d'addition sur les entiers relatifs en binaire, une autre méthode de représentation existe : le complément à 2. Pour obtenir le complément à 2 d'un nombre :
s'il est positif, on prend sa représentation en binaire simple,
s'il est négatif, on prend son complément à 1 (en inversant tous les bits :
1 devient 0 et 0 devient 1) et on additionne 1. (Cela revient à inverser que
les bits de gauche à droite jusqu'au dernier 1 rencontré que l'on n'inverse pas.)
Le bits de poids le plus fort donne l'information du signe comme en binaire signé : 1 pour – et 0 pour +.
Tous les réels ne vont pas pouvoir être codés notamment ceux possédant un nombre infini de chiffre après la virgule tel que π.
Leur représentation sera toujours une approximation.
Pour convertir la partie fractionnaire d'un nombre, en binaire, il faut utiliser les puissances de 2 négatives.
`2^(-1)`
`2^(-2)`
`2^(-3)`
`2^(-4)`
`2^(-5)`
`2^(-6)`
`2^(-7)`
`2^(-8)`
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
0,00390625
Cette méthode de codage à virgule fixe reprend le principe du binaire signé :
le premier bit code le signe (1 pour – et 0 pour +)
une partie des bits suivants codent pour la partie entière (pondération des puissances positives de 2)
et les autres pour la partie fractionnaire (pondération des puissances négatives de 2).
Pour un codage sur 1 octet (8 bits) : 1 bit de signe / 3 bits de partie entière / 4 bits de partie fractionnaire Pour un codage sur 2 octets (16 bits) : 1 bit de signe / 7 bits de partie entière / 8 bits de partie fractionnaire
Exemple : Pour un codage sur 16 bits à virgule fixe : +10,
25(10) = 0000 1010,
0100 0000(2fix) Pour la partie entière : 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 8 + 2 = 10 Pour la partie fractionnaire : 0 × 2−1 + 1 × 2−2 = 0 × 0,5 + 1 × 0,25 = 0,25
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 5 - Codage des réels
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/8
Difficulté :
1 min
Question chronométrée (1 min)
Quelle est la représentation en binaire signé à virgule fixe sur 8 bits, de la valeur décimale 0,5 ?
Doit être un mot binaire.
7.2. Méthode de conversion de la partie fractionnaire : de décimal vers binaire
Pour convertir un nombre fractionnaire en binaire, il faut réaliser des multiplications successives par deux,
des parties fractionnaires, en gardant la partie entière des résultats. Dans la plupart des cas, la méthode
entraîne une boucle : le résultat sera une suite se répétant à l'infini. Ainsi, la représentation sur un nombre
fini de bits introduit obligatoirement une approximation.
Exemple :
Méthode de conversion de la partie fractionnaire (Image cliquable)
Le résultat s'écrit en binaire :
`0,2_((10)) = 0,0011 0011 0011 0011 0011..._((2))`
en binaire à virgule fixe sur 16 bits :
`0,2_((10)) ~~ 0000 0000, 0011 0011_((2fix))`
Si l'on réaliser l'addition binaire sur 16 bits de `0,2_((10))` et `0,1 _((10))` va-t-on obtenir `0,3_((10))` ?
Non ! puisque les représentations en binaire sur 16 bits sont ici des approximations. `0,2_((10)) + 0,1_((10)) ~~ 0000 0000, 0011 0011_((2fix)) + 0000 0000, 0001 1001_((2fix)) = 0000 0000, 0100 1100_((2fix)) = 0,296875_((10))`.
En programmation, il dangereux de vérifier l'égalité de deux nombres à virgule. Rappelez-vous que certaines valeurs ne sont pas représentables parfaitement en binaire. De la même façon que `1/3` n'est pas représentable en décimal car cela nécessiterait d'écrire `0,333...` suivi d'une infinité de `3` ce qui est impossible, certains nombres ne sont pas représentables parfaitement en binaire et seront donc représentés de manière approchée.
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 5 - Codage des réels
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/14
Difficulté :
Donner la représentation en binaire signé à virgule fixe sur 8 bits de la valeur décimale 0,6(10) ?
Doit être un octet.
8. Codage des réels : virgule flottante
La technique de représentation des nombres à virgule fixe est simple mais pas optimale du fait des bits souvent perdus car ils ne portent aucune information. Une autre technique est
celle des nombres à virgule flottante.
Pour représenter un nombre binaire à virgule flottante, il faut d'abord l'exprimer en notation scientifique
binaire sous la forme : `text(mantisse)xx2^text(exposant)`.
La mantisse est obligatoirement supérieure à 1.
Sur 8 bits, la représentation binaire à virgule flottante se compose de :
1 bit pour le signe / 3 bits pour l'exposant / 4 bits pour la partie fractionnaire de la mantisse.
Exemple :-2,625(10) = -10,101(2) = -1,0101(2) × 21 = 01000101(2flo)
Le 1 de la partie entière de la mantisse est systématique, il est donc inutile de perdre un bit à le coder.
L'exposant peut être négatif donc pour permettre de coder autant d'exposants positifs que négatifs sur seulement 3 bits (soit 8 valeurs possibles), la norme IEEE-754 impose d'ajouter 3 à l'exposant.
Dans notre cas, l'exposant est 1(10) donc 1 + 3 = 4(10) = 100(2).
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 5 - Codage des réels
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Dans la représentation binaire à virgule flottante sur 8 bits,
Cocher la ou les bonnes réponses.
La norme IEEE-754 est réellement définie sur 32 ou 64 bits, ce qui permet d'écrire de très grands nombres.
Dans un second temps, les informaticiens ont voulu coder non seulement les nombres, mais aussi l'ensemble des caractères.
Une première table de correspondance a été établie, associant à chaque caractère (a, b, !, espace, virgule, …) un mot binaire de 7 bits. Définie en 1960, cette table est encore utilisée aujourd'hui. Il s'agit de la table ASCII :
Afin de pouvoir coder les caractères européens (accent, cédille, …), une autre norme a été définit en 1986.
Elle s'appelle ISO-8859-1 ou Latin-1. Chaque caractère est alors codé sur 8 bits soit 1 octet.
Ces systèmes de codage ont encore évolué afin d'inclure de plus en plus de caractère.
La norme Unicode (ou UTF-8) vise à coder tous les caractères du monde entier et pour cela, elle est capable d'adapter le nombre de bits nécessaire à l'alphabet de 1 à 4 octets afin d'assurer une rétrocompatibilité avec les premiers tables.
Exemple : Voici quatre exemples de codage en UTF-8 de caractère :
A est codé par 0100 0001(2) = 41(16)
Ω est codé par 1100 1110 1010 1001(2) = CE A9(16)
∞ est codé par 1110 0010 1000 1000 1001 1110(2) = E2 88 9E(16)
𐎄 est codé par 1111 0000 1001 0000 1000 1110 1000 0100(2) = F0 90 8E 84(16)
Questions :
Chapitre 1 : Binaire et codage des nombres et caractères / 6 - Codage des caractères
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Combien de caractères peut contenir la table ASCII originelle utilisant 7 bits ?
