🠖 Géométrie
G4-Cercles et Triangles
1. équation de cercle
Propriété : Le cercle de centre $O(x_O;y_O)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tel que $OM=R$, c'est-à-dire, tel que $(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R²$
Conséquence : Tout cercle admet une équation de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$.
Attention ! La réciproque est fausse !
Attention ! La réciproque est fausse !
Contre exemple :
$x^2+y^2+2x-6x+12=0$ équivaut à $(x+1)^2-1+(y-3)^2-9+12=0$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=-2$
Or $-2$ ne peut pas être le carré d'un nombre donc cette équation n'est pas celle d'un cercle.
Exemple :
$x^2+y^2+2x-6x+7=0$ équivaut à $(x+1)^2-1+(y-3)^2-9+7=0$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=3$
Or $3$ est le carré de $\sqrt{3}$ donc cette équation est celle du cercle de centre $A(-1;3)$ er de rayon $\sqrt{3}$.
$x^2+y^2+2x-6x+12=0$ équivaut à $(x+1)^2-1+(y-3)^2-9+12=0$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=-2$
Or $-2$ ne peut pas être le carré d'un nombre donc cette équation n'est pas celle d'un cercle.
Exemple :
$x^2+y^2+2x-6x+7=0$ équivaut à $(x+1)^2-1+(y-3)^2-9+7=0$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=3$
Or $3$ est le carré de $\sqrt{3}$ donc cette équation est celle du cercle de centre $A(-1;3)$ er de rayon $\sqrt{3}$.
2. Triangle inscrit dans un cercle
Propriété : Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB}=0$
Propriété : Un point $M$ distinct de $A$ et $B$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
3. Formule d'Al Kashi
Propriété : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
$$\| \vec{u}+\vec{v} \|^2=\| \vec{u} \|^2+\|\vec{v} \|^2+2\vec{u}.\vec{v}$$
Propriété : formule d'Al-Kashi (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé, ou loi des cosinus)
On considère un triangle $ABC$ dont les côtés sont $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$. $$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\widehat A.$$
On considère un triangle $ABC$ dont les côtés sont $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$. $$a^2=b^2+c^2-2bc \cos\widehat A.$$
$a^2=BC^2=\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2$
$a^2=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{AC}^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$a^2=c^2+b^2-2 \times AB \times AC \times \cos {\widehat A}$
$a^2=c^2+b^2-2 \times c \times b \times \cos {\widehat A}$
$a^2=\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{AC}^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=BA^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$a^2=c^2+b^2-2 \times AB \times AC \times \cos {\widehat A}$
$a^2=c^2+b^2-2 \times c \times b \times \cos {\widehat A}$
Remarque : Dans un triangle rectangle en A, $a$ est la longueur de l'hypothénuse et $\cos\widehat A=0$.
On alors retrouve le théorème de Pythagore classique.
On alors retrouve le théorème de Pythagore classique.