Les machines traitent et mémorisent l'information au moyen de circuits logiques binaires : leurs entrées et sorties se caractérisent exclusivement par deux états :
l'état logique bas
l'état logique haut.
Ceci s'explique par la technologie employée : les microprocesseurs sont constitués de transistors qui ne peuvent prendre que deux états, bloqué ou saturé, et se comportent comme des interrupteurs commandés.
Ce sont des circuits logiques, le plus souvent à base de transistors, qui réalisent toutes les opérations dans les processeurs des machines.
L'algèbre booléenne permet d'optimiser la construction des circuits électroniques et l'écriture des conditions dans les programmes informatiques.
Une variable booléenne ne peut prendre que deux valeurs, notées 0 et 1 pouvant modéliser des informations binaires du type : oui/non, vrai/faux, marche/arrêt, allumé/éteint, …
Au sein d'une machine, la valeur booléenne est donnée par l'état d'une grandeur électrique.
Plusieurs technologies existent pour représenter ces deux états : l'intensité du courant (4/20mA) mais surtout la différence de potentiel (ou tension) TTL : 0/5V.
État Logique
Valeur Booléenne
Tension TTL
Intensité
VRAI
1
5 V
20 mA
FAUX
0
0 V
4 mA
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 1 - Général
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Quelles situations peuvent être modélisées par un booléen ?
Cocher la ou les bonnes réponses.
Opérateurs booléens
Les calculs sur les variables booléennes sont réalisés grâce à l'algèbre de Boole qui comporte
deux opérateurs élémentaires : NON et ET.
Opérateur NON (négation)
L'opérateur NON s'applique sur un seul opérande et se note avec une barre horizontale au-dessus de l'opérande.
Sa table de vérité est :
entrée 𝑎
sortie 𝑎
0
1
1
0
Question :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/2
Difficulté :
En algèbre de Boole, que vaut 0 ?
Cocher la bonne réponse.
Opérateur ET (conjonction)
L'opérateur ET s'applique sur deux opérandes et se note avec un point. Il renvoie VRAI seulement quand les deux opérandes sont vrais.
Sa table de vérité est :
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 · 𝑏
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
D'après l'algèbre de Boole, associer chaque opération à son résultat :
0
1
Placer tous les éléments dans les bons groupes par glisser-déposer ou clics successifs.
Opérateur OU (disjonction)
L'opérateur OU s'applique sur deux opérandes et se note avec un plus.
Il renvoie VRAI quand l'un ou l'autre ou les deux des opérandes sont vrais.
Sa table de vérité est :
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 + 𝑏
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
D'après l'algèbre de Boole, associer chaque opération à son résultat :
0
1
Placer tous les éléments dans les bons groupes par glisser-déposer ou clics successifs.
Propriété : OU n'est pas un opérateur élémentaire puisqu'il est possible de le créer à partir des
opérateurs NON et ET.
En particulier :
𝑎+𝑏=
𝑎 · 𝑏
On dresse la table de vérité des expressions 𝑎+𝑏
et 𝑎 · 𝑏 et on vérifie que leurs valeurs coïncident sur chaque ligne de la table. Ne pas hésiter à ajouter des colonnes dans la table pour faire tous les calculs intermédiaires :
𝑎
𝑏
𝑎+𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏
0
0
…
…
…
…
…
0
1
…
…
…
…
…
1
0
…
…
…
…
…
1
1
…
…
…
…
…
𝑎
𝑏
𝑎+𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
Opérateurs composés
Il est possible de créer d'autres opérateurs en combinant ces trois opérateurs :
La combinaison de NON avec ET forme l'opérateur NON-ET ou NAND.
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 · 𝑏
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
La combinaison de NON avec OU forme l'opérateur NON-OU ou NOR.
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 + 𝑏
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
L'opérateur OU-Exclusif ou XOR exclut la solution où les deux propositions sont VRAIES. Il se note ⊕.
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 ⊕ 𝑏
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
L'opérateur Identité (coïncidence) renvoie VRAI lorsque les deux opérandes sont égaux. Il se note ⊙.
entrée 𝑎
entrée 𝑏
sortie 𝑎 ⊙ 𝑏
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Règles de priorité : Comme les opérateurs arithmétiques, les opérateurs booléens peuvent s'enchaîner et
il y a un ordre de priorité :
les expressions entre parenthèses sont prioritaires ;
s'il n'y a pas de parenthèses, les opérations s'effectuent selon la priorité :
NON > ET > OU.
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Compléter la table de l'opérateur non-et :
𝑎
𝑏
𝑎 · 𝑏
0
0
{rep}
0
1
{rep2}
1
0
{rep3}
1
1
{rep4}
Doit être un bit.
Doit être un bit.
Doit être un bit.
Doit être un bit.
Vérifier l'égalité logique 𝑎 ⊕ 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑏 qui montre que l'opérateur OU-Exclusif est bien composé à partir des opérateurs élémentaires.
𝑎
𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑏
0
0
…
…
…
…
0
1
…
…
…
…
1
0
…
…
…
…
1
1
…
…
…
…
𝑎
𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑏
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
Vérifier l'égalité logique 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 ⊕ 𝑏 qui montre que l'opérateur Identité est bien composé à partir des opérateurs élémentaires.
𝑎
𝑏
𝑎 ⊙ 𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
0
0
…
…
…
0
1
…
…
…
1
0
…
…
…
1
1
…
…
𝑎
𝑏
𝑎 ⊙ 𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
𝑎 ⊕ 𝑏
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
Portes logiques
Les opérateurs élémentaires existent sous la forme hardware (composant électronique) et leur combinaison permet de construire
tous les autres opérateurs composés. On parle de portes logiques qui sont intégrées dans un circuit électronique.
Propriétés des opérateurs
Élément neutre : Opérande qui ne modifie pas l'autre opérande.
FAUX est l'élément neutre de l'opérateur OU : 𝑎 + 0 = 𝑎
VRAI est l'élément neutre de l'opérateur ET : 𝑎 · 1 = 𝑎
Élément absorbant : Opérande qui renvoie sa valeur quelque soit celle de l'autre opérande.
VRAI est l'élément absorbant de l'opérateur OU : 𝑎 + 1 = 1
FAUX est l'élément absorbant de l'opérateur ET : 𝑎 · 0 = 0
Élément complémentaire ou incompatible : NON(𝑎) aussi noté 𝑎, est :
l'élément complémentaire de 𝑎, car on a toujours :
𝑎 + 𝑎 = 1
un élément incompatible avec 𝑎, car on a toujours :
𝑎 · 𝑎 = 0
Distributivité :
𝑎·(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
Deux Identités : les lois de De Morgan :
𝑎 · 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 · 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 + 𝑏
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 · 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 · 𝑏
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/4
Difficulté :
Simplifier l'expression booléenne : 𝑎 + 1
Cocher la bonne réponse.
L'algèbre de Boole dans les langages de programmation
Les opérateurs booléens (ou logiques)
Opération
Logique
Python
C / C++ / Javascript / PHP
FAUX
0
False
false
VRAI
1
True
true
NON
𝑎
not a
!a
ET
𝑎 · 𝑏
a and b
a && b
OU
𝑎 + 𝑏
a or b
a || b
En python les expressions booléennes sont évaluées de manière séquentielle, c'est-à-dire
opérande après opérande. Si dans certains cas, l'étude du premier opérande suffit, le
deuxième n'est pas appelé.
Exemples : Dans l'expression a or b si a est VRAI, il est inutile de connaître b, le résultat de l'opération sera obligatoirement VRAI. La variable b peut ne pas être définie, il n'y aura pas d'erreur.
De même dans l'expression a and b si a est FAUX, il est inutile de connaître b, le résultat de l'opération sera obligatoirement FAUX. La variable b peut ne pas être définie, il n'y aura pas d'erreur.
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 3 - Avec python
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0/3
Difficulté :
Quel est l'opérateur logique python pour l'opération ET ?
Les opérateurs booléens binaires (ou logiques binaires)
Il existe également des opérateurs booléens binaires qui permettent de réaliser les opérations booléennes bit à bit.
Opération
Logique
Python / C / C++ / Javascript / PHP
ET bit à bit
𝑎 · 𝑏
a & b
OU bit à bit
𝑎 + 𝑏
a | b
OU exclusif bit à bit
𝑎 ⊕ 𝑏
a ^ b
NON bit à bit
𝑎
~ a
Questions :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 3 - Avec python
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
Associer chaque symbole à l'opérateur logique binaire bit à bit en python :
OU
ET
NON
OU exclusif
Former les bons couples par glisser-déposer ou clics successifs.
Applications
Établir la table de vérité de déverouillage de l'entrée d'un laboratoire 𝐿 en fonction des quatres variables suivantes : présence de l'employé n°1 𝐸1, de l'employé n°2 𝐸2, de l'employé n°3 𝐸3 ou du directeur 𝐷 d'après les règles d'accès suivantes :
Le directeur de l'établissement est habilité à rentrer seul.
Les employés n'ont le droit de rentrer que s'ils se présentent au moins à deux.
Le symbole ∀ signifie « quel que soit ». En effet, pour la première ligne du tableau, quelles que soient les valeurs de 𝐸1, 𝐸2 et 𝐸3, si le directeur est là, la porte s'ouvre.
𝐸1
𝐸2
𝐸3
𝐷
𝐿
0
0
0
0
0
∀
∀
∀
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
En déduire l'équation logique 𝐿 = 𝑓(𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐷) à partir de la table de vérité.
𝐿 = 𝐷 + 𝐸1·𝐸2 + 𝐸2·𝐸3 + 𝐸1·𝐸3
Question :
Chapitre 2 : Algèbre de Boole / 2 - Opérateurs
Niveau d'apprentissage : 0
Réussite : 0/0
Difficulté :
On cherche à modéliser l'allumage des différents feux X d'une voiture en fonction des interrupteurs de commande cX.
Associer chaque variable booléenne d'allumage d'un feux à son expression booléenne de commande :
Les feux de route (R) sont activés
si la commande associée est activée.
Les veilleuses (V) s'allument dès
qu'au moins une des commandes est activée.
Les feux de croissement (C) s'allument avec
les feux de croissement ou les anti-brouillards
mais sans les feux de route.
Les anti-brouillards (A) ne peuvent être
allumés en même temps que les feux de croisement.
Former les bons couples par glisser-déposer ou clics successifs.
Circuits logiques
Les portes logiques
Dans cette partie, nous allons utiliser le simulateur de CircuitVerse.org.
Donner l'expression logique que réalise le circuit logique ci-dessus ?
A + A·B
Ce circuit logique peut-il être simplifié ?
La sortie est la même qu'une des entrées. L'autre entrée est inutile.
On peut simplifier l'expression équivalente : A + A·B = A·(1 + B) = A·1 = A
Implémentation électronique de l'addition
Ci-dessous, trois circuits logiques sont représentés :
Additionneur : Permet de réaliser l'addition de 2 bits.
Additionneur avec retenue : Permet de réaliser l'addition de 2 bits avec une retenue précédente. Ce circuit est composé de deux circuits logiques "Additionneur".
Additionneur 4 bits : Permet de réaliser l'addition de 2 × 4 bits. Il est composé d'un « Additionneur » et trois « Additionneurs avec retenue précédente ».
Vérifier que le premier circuit logique « Additionneur » réalise bien l'addition de deux bits en faisant varier les variables d'entrée A et B.
De même pour le deuxième circuit logique « Additionneur avec retenue » en ajoutant une éventuelle retenue précédente.
Enfin, vérifier le fonctionnement du troisième circuit logique « Additionneur 4 bits ».
Retenez que chaque opération effectuée dans un ordinateur, de la plus simple à la plus complexe, est réalisée à l'aide d'une combinaison de portes logiques, elles-mêmes constituées de transistors.
Implémentation électronique de la soustraction
Réaliser le circuit logique d'un soustracteur sur un bit à l'aide du simulateur CircuitVerse.org.Les entrées seront A et B et il faut prévoir deux sorties : A - B et l'emprunt éventuel fait sur le bit de poids supérieur.
Accéder au simulateur
Bibliographie :
Site permettant de simplifier une expression booléenne :
dcode.fr
Atelier pour créer des circuits électroniques en logique combinatoire :
CircuitVerse.org
